2024年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2024年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1．如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点． (1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式； (2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值； (3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，-1），对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F． (1)求二次函数的解析式； (2)点M在第一象限抛物线的对称轴上，若点C在BM的垂直平分线上，求点M的坐标； (3)如图②，过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，x轴上方的对称轴上是否存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标； (3)如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式． 4．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线经过A，B两点，点C的坐标为，，点C关于点B的对称点M刚好落在抛物线上，连接AM． (1)求点M的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)过点M作MD平行于y轴交AB于点D，若点E为抛物线上的一点，点F在x轴上，连接AE，AF，EF．是否存在点F使得△ADM与△AEF相似？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，抛物线与轴交于，（点在点左侧），与轴负半轴交于，且满足． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，为轴负半轴上一点，过作直线垂直于直线，直线交抛物线于，两点（点在点右侧），若，求点坐标； (3)如图3，点为抛物线第二象限部分上一点，点，关于轴对称，连接，为线段上一点（不与、重合），过点作直线（为常数）交轴于，交直线于，求的值（用含的代数式表示）． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为，且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B． (1)求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标； (2)过点A作轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点D作轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长． 7．综合与探究 如图，二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．点是射线上的动点，过点作，并且交轴于点． (1)请直接写出，，三点的坐标及直线的函数表达式； (2)当平分时，求出点的坐标； (3)当点在线段上运动时，直线与抛物线在第一象限内交于点，则线段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由． 8．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C，图象的对称轴为直线．连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点D的横坐标为m． (1)求的长度； (2)连接，当的面积最大时，求点D的坐标； (3)当m为何值时，与相似． 9．已知抛物线交x轴于，交y轴于点C． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，P是第四象限内抛物线上的一点，PA交y轴于点D，连接BD，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，Q是点C关于抛物线的对称轴的对称点，连接BP，CP，CQ（如图2），在x轴上是否存在点R，使与相似？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 10．二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）． (1)求此二次函数的表达式； (2)①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标； ②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标； (3)已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有