2024年九年级中考数学二次函数压轴题专题----等腰三角形存在性

2024年九年级中考数学二次函数压轴题专题---- 等腰三角形存在性 1．如图，抛物线与x轴交于点A，顶点为点P． (1)用含a的代数式表示顶点P的坐标______； (2)把抛物线绕点旋转得到抛物线（其中），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q． ①当时，求线段的长； ②在①的条件下，是否存在为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，其中点在原点左侧，抛物线与轴负半轴交于点，，拋物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若该抛物线与直线交于点，，，为抛物线对称轴上一点，连接并延长，交抛物线于点，连接交拋物线对称轴于点， ①如图2，若，直线交对称轴于点，，求的长度； ②求证：不论取何值，抛物线上都存在定点，使得是以为底边的等腰三角形． 3．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段所在直线的解析式； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线，与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)连接CD，是否存在点P，使得是以PD为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D． (1)求点A、B、C的坐标． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为以为底边的等腰三角形？如果存在，请用尺规在图中作出这样的点P，并直接写出P点的坐标． 6．抛物线过点，点，顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，点P在抛物线上，连接并延长交x轴于点D，连接，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段上（与点A，C不重合）的动点，连接，作，边交x轴于点F： ①求证： ②的长度是否有最大值？如果有，求出该最大值；如果没有，请说明理由． 7．如图，已如二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． (1)求点A、B、C的坐标并直接写出直线BC的关系式； (2)若D是第四象限内二次函数图象上任意一点，轴于点E，与线段BC交于点F，过点F作轴于点G，连接CD． ①求线段的最大值； ②当是以FC为腰的等腰三角形时，请直接写出点E的坐标． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点P为第一象限内抛物线上一点，射线OP与线段BC交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接AC，当∠OAC＋∠ODC＝180°时，求点P的坐标； （3）过点B作BE⊥x轴交射线OP于点E，当BDE为等腰三角形时，直接写出点D的坐标． 9．如图，抛物线交x轴于两点，与y轴交于点C，连接．M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作，垂足为点N．求线段的最大值． （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点M，且点M的横坐标为1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．    (1)求线段的长度； (2)如图1，连接，点P为直线上方抛物线上（不与B、M重合）的一动点，过点P作轴，交直线点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点N，新抛物线与原抛物线交于点H，G为原抛物线对称轴l上一点，当以G、N、H为顶点的三角形是等腰三角形时，求出点G的坐标并写出求解过程． 11．如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点    (1)求抛物线的解析式 (2)如图2，过点A于作的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线位于线段下方的一个动点，联结，，，，当四边形面积最大时，求点P坐标． (3)如图3，连接，将绕点O逆时针旋转，记旋转中的三角形为，在旋转的过程中，直线与直线交于点Q，若为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 12．综合与实践 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接．    (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明