2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数与特殊三角形

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数与特殊三角形 1．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)当时，请直接写出的范围； (3)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于点A，顶点为点P． (1)用含a的代数式表示顶点P的坐标______； (2)把抛物线绕点旋转得到抛物线（其中），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q． ①当时，求线段的长； ②在①的条件下，是否存在为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标． 4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点． (1)求抛物线的解折式； (2)如图，点为直线下方抛物线上的点，连接和交于点，当的值最大时，求点的坐标； (3)坐标轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点、，交y轴于点，在y轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0． (1)如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°．求证：CO； (2)如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC． 7．抛物线y＝ax2+bx﹣2的图像经过M（﹣2，3），N（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求A、B、C点的坐标； (3)求证：△ACB是直角三角形； (4)P为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标． 8．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 9．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大?求出四边形的最大面积及此时E点的坐标； (3)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 10．抛物线与轴交于、（在的左边），轴交于，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线交抛物线于两点，点在抛物线上，且在直线下方的，若以为圆心的作，当与直线相切时，求最大半径及此时坐标； （3）如图2，是抛物线上一点，连接交轴于，作关于轴对称的直线交抛物线于，连接，点是的中点，若的纵坐标分别是．求的数量关系． 11．将抛物线C：向下平移6个单位长度得到抛物线． (1)直接写出抛物线 解析式； (2)如图（1），点A在抛物线 （对称轴 右侧）上，点B在对称轴 上， 是以 为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)如图（2），过点 的直线与抛物线C交于M，N两点，分别过M，N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G，求点G所在直线的解析式． 12．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，为抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，为线段上的动点，连接，当与相似时，求出点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图， 已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A，E两点，与x轴交于B(1，0)，C(2，0)两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）动点P在x轴上移动， 当△PAE是直角三角形时， 请通过计算写出一个满足条件点P的坐标． 14．如图，二次函数的图象与x轴相交于点和，与y轴相交于点C，且经过点，过点D作，交y轴于点E，连结． (1)当时，求这个二次函数的表达式． (2)试用含m的代数式