微专题2-1 导数在研究函数中的应用（四大核心考点）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（上海专用）

微专题2-1 导数在研究函数中的应用（四大核心考点） 【考点目录】 考点一： 利用导数研究函数的最值和极值 考点二： 利用导数研究曲线上某点切线方程 考点三： 利用导数研究函数的单调性 考点四： 函数在某点取得极值的条件 考点一： 利用导数研究函数的最值和极值 一．选择题（共1小题） 1．（2022秋•黄浦区校级月考）若在区间内有定义，且，则“”是“是函数的极值点”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 二．填空题（共10小题） 2．（2023秋•徐汇区校级期中）已知函数，若存在三个互不相等的实数，，，使得，则实数的取值范围是 　　． 3．（2022秋•奉贤区期末）已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于 　　时，利润最大． 4．（2023秋•松江区校级期中）函数的极值点为 　　． 5．（2023春•徐汇区校级期末）已知，，满足，则的最小值为 　　． 6．（2023春•金山区校级期末）函数在，上的最小值为 　　． 7．（2023春•杨浦区校级期中）已知，，对于数列，有，，若存在常数使得对于任意的，都有，则的取值范围是 　　． 8．（2022秋•长宁区校级期末）已知为直线上的一个动点，为曲线上的一个动点，则线段长度的最小值为 　　． 9．（2023春•松江区校级期末）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 　　． 10．（2023春•浦东新区校级月考）已知，若对任意，都有，则实数的取值范围是 　　． 11．（2023春•宝山区校级期中）已知正实数，满足，则的最大值为 　　． 三．解答题（共6小题） 12．（2023秋•普陀区校级月考）已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）当时，设函数，对于任意的，试确定函数的零点个数，并说明理由． 13．（2023秋•奉贤区期末）若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为“增函数”． （1）求证：函数不是“增函数”； （2）若函数是“增函数”，求实数的取值范围； （3）设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”． 14．（2022秋•松江区期末）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线在上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式；山谷右侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式；已知点到的距离为40米； （1）求谷底到桥面的距离和桥的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点），桥墩每米造价为万元，桥墩每米造价万元；问：为多少米时，桥墩和的总造价最低？ 15．（2023秋•浦东新区期末）设是定义在上的函数，若存在区间，和，使得在，上严格减，在，上严格增，则称为“含谷函数”， ，称为的一个“含谷区间”． （1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由； ①，②； （2）已知实数，是含谷函数，且，是它的一个含谷区间，求的取值范围； （3）设，，．设函数是含谷函数，，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若（1）（2），且（1），求的最小值． 16．（2023秋•松江区期末）已知函数，记，． （1）若，，判断函数的单调性； （2）若，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若，则曲线上是否存在三个不同的点，，，使得曲线在，，三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由． 17．（2023•黄浦区校级三模）设函数． （1）设，求函数的单调区间； （2）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件； （3）设，，，证明：函数恰有一个零点，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得． 考点二： 利用导数研究曲线上某点切线方程 一．填空题（共4小题） 1．（2023秋•闵行区校级期中）曲线在点，（1）处的切线方程为 　　． 2．（2023秋•浦东新区校级月考）若直线是指数函数且图像的一条切线，则底数　　． 3．（2023•徐汇区校级三模）设是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围是 　　． 4．（2023春•浦东新区校级期中）已知，，其中，过、分别作二次函数的切线，则两条切线与轴围成的三角形面积的最小值为 　　． 二．解答题（共8小题） 5．（2023春•浦东新区校级期末）给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”．记函数所有“正交点”所组成的集合为． （1）若，判断集合是否为空集，并说明理由； （2）若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线； （3）若，记图像上的所