江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高二寒假数学补充练习

南师附中高二寒假数学补充练习 一、单选题 1．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 2．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 3．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．关于椭圆：，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：的焦距为6；丁：的焦点在轴上.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（       ） A． B． C． D． 6．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（       ） A． B． C． D． 7．过点P作抛物线的切线，切点分别为，若的重心坐标为，则P点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若△PF1F2的面积为，则=（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为（       ） A． B． C． D． 10．已知，过定点的直线为与过定点的直线，两条动直线的交点为，则（       ） A．定点 B．定点 C．点的轨迹方程为 D．的最大值为 11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 12．已知为坐标原点，为轴上的动点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，，若，则（    ） A． B． C．当时，的纵坐标一定大于 D．不存在使得 三、填空题 13．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是___________. 14．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______． 15．已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为　　． 16．已知双曲线的左焦点为， 点在双曲线的右支上， ．若 的最小值是 9 ， 则双曲线的离心率是_____． 四、解答题 17．求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）． 18．已知圆，抛物线的焦点坐标为 (1)过圆外一点作直线与圆相切于点，且，求点的轨迹方程； (2)过点与圆相切的直线交抛物线于两点，求． 19. 记为数列的前项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若，，成等比数列，求的最小值． 20．已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为． (1)求与的方程； (2)若直线的斜率是，且经过点，与交于A、两点，与交于、两点，求． 21．已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足 (1)求数列{}的通项公式： (2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值. 22．已知点、，平面直角坐标系上的一个动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围； (2)已知点、是曲线上的两个动点，若（是坐标原点），试证明：直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南师附中高二寒假数学补充练习 一、单选题 1．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足， 由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式 为，选C. 2．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为过点与， 所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆心为， 所以圆的方程为． 故选：A． 3．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，方程变