2024年中考数学一轮专题复习 第二章 方程与不等式 第2节 一元二次方程讲义

中考数学第一轮复习 第二章 方程与不等式 第2节 一元二次方程 【知识清单】 一、一元二次方程的概念 1. 一元二次方程的定义：化简整理后，只含有 个 ，并且 的最高次数 是 次，这样的 方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是： (其中a、b、c为常数，a ），其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项. 3.一元二次方程的根：能使一元二次方程成立的 称为一元二次方程的解（根）. 二、一元二次方程的解法 1.直接开平方法： 依据的是平方根的意义，适用于易于化成ax2=p或a（mx+n)2=p的形式；当a、p同号或只p=0时，即可求解，其他情况无解； 2.配方法： 把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)左端配成一个含有未知数的完全平方式，右端是一个非负常数，进而可用直接开平方法来求解。 【步骤归纳】（1）移项；（2）二次项系数化成1；（3）配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）；（4）开平方根。配方法适用于解所有一元二次方程，但具体情况适用于二次项系数化1后，一次项系数为“偶数”时，适用此法较为简单； 3. 公式法：利用求根公式，把一元二次方程的各系数代入求根公式，直接求出方程的解。 【步骤归纳】 (1)把方程化为一般形式； (2)确定a、b、c的值； (3)计算b2-4ac的值； (4)当b2-4ac≥0时，把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根。 需要注意的是：公式法是解一元二次方程的一般方法，又叫万能方法，对于任意一个一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来。 4. 因式分解法： 先因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次求解的目的。 【步骤归纳】（1）移项：将方程的右边化为0； （2）化积：把左边因式分解成两个一次式的积；（3)转化：令每个一次因式都等于0,转化为两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 需要注意的是：(1)在方程的右边没有化为0前，不能把左边进行因式分解；(2)不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解，即因式分解法只适用部分一元二次方程。 的，等式左右两边相等的未知数的值。 三、一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用“△”表示(读做“delta”)，即△=b2-4ac。 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中 （1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当△=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当△<0时，方程没有实数根,方程有两个共轭虚根。 （1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有两个实数根。 四、一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0） 两根为x₁、x₂那么有如下关系：x1+x2= - ，x1▪x2= 注意：根与系数的关系成立的前提是方程存在实数根，也就是当△≥0时. 五、一元二次方程常见应用题型 1.增长率（下降率）问题 【例】今年来某县加大了对教育经费的投入，2023年投入2500万元，2015年投入3500万元。假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（  ） A． 2500x2=3500 （ B．2500（1+x）2=3500 C． 2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500   解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500，故选B．       2.数字类问题 【例】已知一个两位数的十位数字比个位数字大 2，两位数字的积比这个两位数小34，求这个两位数。 解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x＋2 根据题意，得x(x＋2)＋34＝10(x＋2)＋x 解得x1＝2，x2＝7     当x＝2时，x＋2＝4当x＝7时，x＋2＝9.     （认 所以这个两位数为42或97 3.营销类问题 【例】为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元。 解：