精品解析：湖南省长沙市长郡集团所有学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题

长郡中学2023年下学期高二期末考试 数学 命题人：张志忠、赵攀峰、谭泽阳、叶勇胜 审题人：张志忠 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A 35 B. 40 C. 50 D. 70 4. 曲线在点处切线方程为 A. B. C. D. 5. 设，随机变量的分布列如表所示，则（ ） 1 2 3 A. 有最大值，最小值 B. 有最大值，最小值 C. 有最大值，无最小值 D. 无最大值，有最小值 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列概念.如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A. 174 B. 184 C. 188 D. 190 7. 从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共6项 B. 常数项为 C. 所有项的二项式系数之和为64 D. 所有项的系数之和为0 10. 设公差小于0的数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 当且仅当时，取最大值 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 在上的值域为 D. 点是曲线的对称中心 12. 已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（ ） A. 若，的斜率分别为，，则 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共4小题，，每小题5分，共20分） 13. 已知数列满足：，其前项和为，若，则___________. 14. 已知函数满足，则___________. 15. 已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______. 16. 已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________ 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列满足，． （1）记，证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动. （1）求线段AB中点P的轨迹C2的方程： （2）设圆C1与曲线C2的交点为M、N，求线段MN的长． 19. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率． （II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX. 20. 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 21. 已知且，函数. （1）若且，求函数的最值； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 22. 已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆的