05挑战压轴题（解答题三）-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（河北卷）

05挑战压轴题（解答题三） 1．（2023·河北·统考中考真题）如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．    (1)若点在上，求证：； (2)如图2．连接． ①求的度数，并直接写出当时，的值； ②若点到的距离为，求的值； (3)当时，请直接写出点到直线的距离．（用含的式子表示）． 2．（2022·河北·统考中考真题）如图，四边形ABCD中， ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，． (1)求证：△PQM≌△CHD； (2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止． ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积； ②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长； ③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）． 3．（2021·河北·统考中考真题）在一平面内，线段，线段，将这四条线段顺次首尾相接．把固定，让绕点从开始逆时针旋转角到某一位置时，，将会跟随出现到相应的位置． （1）论证  如图1，当时，设与交于点，求证：； （2）发现  当旋转角时，的度数可能是多少？ （3）尝试  取线段的中点，当点与点距离最大时，求点到的距离； （4）拓展  ①如图2，设点与的距离为，若的平分线所在直线交于点，直接写出的长（用含的式子表示）； ②当点在下方，且与垂直时，直接写出的余弦值． 4．如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x－b与y轴交于点B；抛物线L：y=－x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D． （1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； （2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值； （3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离； （4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数． 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得Rt△DCE． (1)如图1，当DE∥AC时，AB、DC交于点F，AB、DE交于点P，求证：AP＝AC； (2)如图2，当B在DE上时，连AD，求的值； (3)若Rt△ACB绕点C顺时针旋α（0 ＜α≤90°），BC＝2，M是BC中点，N在AC延长线上，CN＝1，在旋转过程中，2EM＋EN的最小值为 _________ ． 2．已知，在内部作等腰，，．点为射线上任意一点（与点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点． (1)如图1，当时，线段与的数量关系是_________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)若，，，过点作，垂足为，请直接写出的长（用含有的式子表示）． 3．问题背景】如图1，中，，中，，且，求证：；      【变式迁移】如图（2），中，，，点D为内一点，将点A绕点D顺时针旋转得到，连接，求的值；    【拓展创新】如图（3），中，，，点D为外一点，，连接CD，求线段之间的数量关系．（用含的式子表示）    4．已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，（点，可以与，两点重合），弦． (1)如图1，当时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的（图形）的面积； (3)如图3，取CD的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中： ①点M到AB的距离的最小值是______； ②直接写出点M的运动路径长______． 5．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点，直线经过点，与轴正半轴交于点，且． (1)求两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)如图2，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），设点的纵坐标为．过点作轴的平行线，分别交直线，于点． ①当时，求线段的长； ②若点是轴上的一个动点，当是等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 1．综合与实践 问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，连接AC，AC⊥B