2024年湖南省长沙市高三数学上学期第一次调研测试卷

2024年湖南省长沙市高三数学上学期第一次调研测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．设集合，，则的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若复数（i是虚数单位），则（    ） A． B．1 C． D． 3．已知向量，，，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积为（    ）． A．1 B．2 C． D． 4．在三角形ABC中，已知三边之比，则的值等于（    ） A．1 B．2 C． D． 5．数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为 A． B． C． D． 6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（    ） A． B． C． D． 7．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知正三棱台的上，下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，以下底面顶点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 10．不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球，2个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件：取出的两个球是一个红球一个白球，事件：两个球中至少一个白球，事件：两个球均是红球，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线：的右焦点为F，动点M，N在直线：上，且，线段，分别交C于P，Q两点，过P作的垂线，垂足为.设的面积为，的面积为，则（    ） A．的最小值为 B． C．为定值 D．的最小值为 12．已知，，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上存在极大值 B．为函数的导函数，若方程有两个不同实根，则实数m的取值范围是 C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为 D．若，则的最大值为 三、填空题 13．为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有 种分配方法（用数字作答）； 14．在数列中，，，其中是自然对数的底数，令，则 ． 15．已知是正四面体的外接球的一条直径，点在正四面体表面上运动，正四面体的棱长是2，则的取值范围为 ． 16．已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为 . 四、解答题 17．如图，在中，，点是边上一点，且， (1)求的面积； (2)求线段的长. 18．已知数列的前项和为，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 19．如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，且，，，为中点．    (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点，使得二面角的大小为，求的值． 20．2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； (3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 21．已知椭圆的离心率为，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，面积为． (1)求C的方程； (2)当M异于O点时，记直线与y轴交于点N，求周长的最小值． 22．已知函数． (1)当时，求在曲线上的点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若有两个极值点，，证明：． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………