17 微专题7 动点函数图象与性质的探究-【智乐星中考·命题研究】2024年重庆中考数学精练本

微专题7　动点函数图象与性质的探究 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动．同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，当点P到点A时停止运动，点Q到点C时停止运动．它们的速度均为每秒1个单位长度．连接PQ，PC，设运动时间为x秒，y1＝S△AQP，y2＝S△PBC. (1)求y1，y2与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，写出y1的一条性质； (3)结合y1和y2的函数图象，直接写出y2≥y1时，x的取值范围． 图1 图2 2．(2023·重庆育才一诊)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M是AC的中点，点P从点B出发，沿B→A→M的路径向点M运动，点Q在射线BA上，连接MQ，PC，QC.当点P到达点M时停止运动．在点P整个运动过程中，点Q都满足∠CQB＝∠PCB.设点P的运动路程为x，S△MAQ＝y1. (1)直接写出y1与x的函数表达式，并补全表格中y1的值，以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出y1的函数图象； x 1 2 3 y1 ______ ______ ______ ______ ______ ______ (2)写出函数y1的一条性质：________________________； (3)在平面直角坐标系中已经画出y2＝的函数图象，结合y1和y2的函数图象，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．(结果取精确值) 参考答案 1．解：(1)如图，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F， 则S△APQ＝AQ·PE， S△PBC＝BC·PF. ∵PE⊥AC，∴∠PEA＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠PEA＝∠ACB， ∴PE∥BC，∴△APE∽△ABC， ∴＝. ∵PB＝x，AB＝＝5，BC＝3，∴AP＝5－x， ∴＝，∴PE＝(5－x)． ①当0<x≤4时， ∵AQ ＝x， ∴y1＝ x·(5－x)＝－x2＋x. ②当4＜x<5时， y1 ＝AC·PE＝×4×(5－x)＝－x＋6. 同理可得PF∥AC，△BPF∽△BAC， ∴＝， ∴＝，∴PF＝x， ∴y2＝×3×x＝x. 综上所述，y1＝ y2＝x(0<x≤5)． (2)函数图象如图所示． 当0<x<时，y1随x的增大而增大；当<x<5时，y1随x的增大而减小．(答案不唯一) (3)当y2≥y1时，1≤x<5. 2．解：(1)S△MAQ＝y1＝ x 1 2 3 y1 ____7____ ____3____ ________ ____1____ ____1____ ____1____ 画出y1的函数图象如图1(图象加粗的部分)． (2)当0＜x＜2时，y1随x的增大而减小；当2<x<3时，y随x的增大而不变．(答案不唯一) (3)当y1<y2时，<x<3. 学科网（北京）股份有限公司 $$