2024年人教版九年级数学中考专题训练：实际问题与二次函数

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 实际问题与二次函数 1．某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ （2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 2．某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 3．同学们在操场玩跳大绳游戏，跳大绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为，到地面的距离与均为．绳子用到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为，距甲同学拿绳的手的水平距离为．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)如果身高为的嘉嘉站在之间，当绳子用到最高处时，求嘉嘉距点的水平距离为多少时，绳子刚好通过他的头顶上方． 4．某校准备在校园里利用围墙（墙可用最大长度为）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形开心农场．某数学兴趣小组设计了三种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的矩形水池，且需保证总种植面积为，试确定的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ (3)方案三：如图③，在图中所示三处位置各留宽的门，且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 5．在边长为的正方形中，点分别按的方向同时出发，以的速度匀速运动．写出四边形的面积关于运动时间变化的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小？最小值是多少？ 6．大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒，调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示； (1)求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）； (2)每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒可获得的利润为1200元？ (3)当每个文具盒定价多少元时，超市每星期的利润最高？最高利润是多少？ 7．如图（1），一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图（2）是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离），当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12m时，达到最大高度7m，草坡上距离O的水平距离为18m的点A处有一棵高2.6米的小树，小树垂直水平地面且点A到水平地面的距离为3m. (1)求抛物线的解析式； (2)请判断水流能否浇灌到小树后面的草地？并说明理由. 8． 如图，在矩形中，，．动点P，Q从A同时出发，且速度均为，点P，Q分别沿折线，向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点P与点B重合时，x的值为______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度． 9．图1是山西晋城丹河大桥，位处太行山脉南端，桥梁栏杆上有多幅与历史文化有关的石雕图画，体现了现代与传统文明的完美结合．丹河大桥拱桥桥洞的形状呈抛物线形，现以水面为x轴，拱桥左侧与水面的交点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知水面的宽度为米，拱桥离水面的最大高度为米． (1)求该抛物线的表达式； (2)若要在桥洞两侧壁上距离水面米的点B和点C处各安一盏景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离． 10．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．    (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带． 11．郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度为120米，与中点O相距30米处有一高度为27米的系杆．以所在直