2024年九年级中考数学复习 二次函数之等腰三角形存在性

2024年九年级中考数学复习 二次函数之等腰三角形存在性 1．如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． (1)求出二次函数的解析式； (2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； (3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图，在矩形中，，，为中点，直角的直角顶点在边运动，始终过点，设． (1)求证：； (2)若与所在的直线有交点，该交点用表示，用含的代数式表是的长，并求出的最大值； (3)求出当过点时的值； (4)__________时，为等腰三角形． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点D从点A出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点C做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．请解答下列问题： (1)求二次函数关系式； (2)在D，E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)当t为何值时，是等腰三角形？请直接写出t的值． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点不与点、重合，过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 5．如图，抛物线与直线交于A，C两点，与x轴交于点A，B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点（不包括点A和点C），过点P作PN⊥AB交AC与点M，垂足为N，连接AP，CP．设点P的横坐标为m． （1）求b的值； （2）用含m的代数式表示线段PM的长并写出m的取值范围； （3）求△PAC的面积S关于m的函数解析式，并求使得△APC面积最大时，点P的坐标； （4）直接写出当△CMP为等腰三角形时点P的坐标． 6．如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，二次函数的图象交轴于点，点，交轴于点      （1）求二次函数的解析式； （2）连接，在直线上方的抛物线上有一点，过点作轴的平行线，交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数关系式； （3）若点在轴上，是否存在点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 8．已知：如图，二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）． （1）求该二次函数的关系式； （2）写出该二次函数的对称轴和顶点坐标； （3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标； （4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形； ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 10．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=﹣x+1与y轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△DBO∽△EBC； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式及C点坐标；