基本不等式专项练习-2024届高考数学一轮复习

基本不等式 一、基础巩固练 1. 函数y=4x2(6-x2)的最大值为(　　) A.36 B.6 C.9 D.18 2.已知a>0,b>0,则的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 4.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a3-a1=2,则a4+a3的最小值是(　　) A.4 B.9 C.6 D.8 5.若正数x,y满足x+2y=2,则的最小值为(　　) A.+1 B.2+1 C.2 D. 6.已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的下底面为矩形,AB=2A1B1,高为3,且该棱台的体积为63,则该棱台上底面A1B1C1D1的周长的最小值是(　　) A.15 B.14 C.13 D.12 7.(多选题)已知a>0,b>0,且a+2b=2,则(　　) A.ab的最大值为 B.a+的最小值为4 C.a2+4b2的最小值为2 D.的最大值为4 8.已知x>0,y>0,且+2=4,则xy的最大值是　　　　　.  9.已知a>0,b>0,且ab=a-b+3,则a+b的最小值为　　　　　.  10. ()(+4)的最小值为　　　　　.  二、综合提升练 11.如果一个直角三角形的斜边长等于2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为(　　) A. B.1 C.2 D.6 12.已知正实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则4a+2b的最小值是 (　　) A.5 B.9 C.13 D.18 13.(多选题)已知实数a>0,b>0,且满足(a-1)(b-1)=4,则下列说法正确的是(　　) A.ab有最小值 B.ab有最大值 C.a+b有最小值 D.a+b有最大值 14.一个矩形的周长为l,面积为S,给出下列实数对:①(1,4);②(6,8);③(7,12);④(3,),可作为数对(S,l)的序号是(　　) A.①③ B.①③④ C.②④ D.②③④ 15.若a>0,b>0,则的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.4 16.若实数x,y满足x>2y,且xy=1,则的最小值是　　　　　.  1.A　解析 y=4x2(6-x2)≤4·()2=36,当且仅当x2=6-x2,即x=±时函数取得最大值36,故选A. 2.A　解析 因为a>0,b>0,所以ab>0,+ab≥2=2,当且仅当ab=即ab=1时,等号成立, 所以的最小值为2,故选A. 3.A　解析 因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥2=4,可得ab, 当且仅当a=4b,即a=1,b=时,等号成立,所以ab的最大值为,故选A. 4.D　解析 设{an}的公比为q.由a3-a1=2,得a1q2-a1=2,且q>1,即a1=, 则a4+a3=a1(q3+q2)==2(q-1)++4≥8,当且仅当2(q-1)=即q=2时,等号成立,故选D. 5.A　解析 由x+2y=2得=1,x,y>0,所以+1≥2+1=+1, 当且仅当时,等号成立,所以的最小值为+1,故选A. 6.D　解析 设棱台的上底面矩形边长分别为a,b,则下底面矩形边长分别为2a,2b, 则棱台的体积V=3×(ab++4ab)=63,∴ab=9, ∴棱台的上底面的周长为2(a+b)≥4=12,当且仅当a=b=3时等号成立,即上底面的周长最小值为12, 故选D. 7.AC　解析 对于A选项,因为a>0,b>0,a+2b=2,由基本不等式可得a+2b≥2,当且仅当a=2b=1时,等号成立,所以ab≤()2=,故A正确;对于B选项,根据基本不等式可得a+2=4,当且仅当a=2时,等号成立,此时b=0,故B错误;对于C选项,因为a+2b=2,所以(a+2b)2=4,即a2+4b2=4-4ab.由2ab=1,得a2+4b2≥2,当且仅当a=2b=1时,等号成立,故C正确;对于D选项,,因为0<ab,所以4,当且仅当a=2b=1时,等号成立,所以的最小值为4,故D不正确.故选AC. 8.4　解析 因为x>0,y>0,所以由基本不等式得4=+22,所以2,得2,所以xy≤4,当且仅当=2即x=4,y=1时,等号成立,所以xy的最大值是4. 9.2　解析 因为ab=a-b+3,解得b==1+,则a+b=a+1+2,当且仅当a=-1,b=+1时,等号成立,故a+b的最小值为2 10.9　解析 ()(+4)=5+5+2=9,当且仅当,即x=4y>0时,等号成立, 所以()(+4)的最小值为9. 11.C　解析 设斜边c=2,直角边为a,b,则a2+b2=8,因为2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当a=b=2时,等号成立,此时a+b取最大值,则三