专题2.11 一元一次不等式与一次函数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.11 一元一次不等式与一次函数（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】一次函数与一元一次不等式 1.定义 一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）（k，b为常数，且k≠0）的关系 数：函数y=kx+b中，函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 形：函数y=kx+b的图像中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 2.拓展 直线=与直线的交点的纵坐标即为方程的解；不等式（）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的x的取值范围. 特别解读： 利用图像法解一元一次不等式的一般步骤： 1. 将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式； 2. 画出函数y=ax+b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； 3. 根据函数图像确定对应不等式的解集. 【知识点二】一元一次方程、一元一次不等式与一次函数综合 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案.常用的问题有购物问题、利润问题、支出问题等. 2.解答方案决策问题的一般步骤 （1）根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式=和. （2）根据之间的大小关系（＞或或），分情况求得相应的x的值或取值范围. （3）比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策. 特别提醒： 实际问题中，未知数（函数自变量）往往具有隐含条件，如表示物体个数时，要求必须都是非负整数，表示距离、时间、速度等，要求都是非负数，解题时一定要结合实际问题进行取值. 【考点目录】 【考点1】利用一次函数图象的交点坐标解不等式； 【考点3】利用一元一次不等式求函数的最值； 【考点4】一元一次不等式与一次函数的应用； 【考点5】一次函数与一元一次不等式综合. 【考点1】利用一次函数图象的交点坐标解不等式； 【例1】（2023上·河南郑州·八年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是 ； （2）关于x的方程的解是 ； （3）当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质， （1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出时对应的自变量的值即可 （3）利用函数图象写出时对应的函数值范围即可． 解：（1）利用函数图象可知函数值为0时，， 故答案为：； （2）利用函数图象可知时对应的自变量的值为， 故答案为：； （3）根据图象可知：当时，， 故答案为：． 【变式1】（2023下·全国·八年级假期作业）已知一次函数（，是常数，且），与的部分对应值如下表所示，那么不等式的解集是（    ） 0 1 2 3 4 3 2 1 0 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 【变式2】（2023上·江苏·八年级专题练习）若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与图象和解一元一次不等式，利用待定系数法求得，再代入解一元一次不等式即可． 解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图像可知，则． 故答案为：． 【考点2】利用两直线交点求不等式的解集； 【例2】（2023上·江苏·八年级期末）如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． （1）求m的值与求直线的解析式； （2）根据图象，写出关于x的不等式的解集； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合， 一次函数与不等式之间的关系，正确根据待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点C坐标代入中求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式； （2）根据函数图象找到当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （3）得出点B、D的坐标，进而根据四边形的面积解答即可． （1）解：∵直线与直线相交于点． ∴， 解得； ∴， 把点，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是； （3）解：把代入得：， ∴， 把代入得：，解得， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 【变式1】（2023上·江苏·八年级专题练习）一次函数（）与的图象如图所示