2023年河南省九年级中考数学 圆证明题专项训练

1. 如图，内接于，、是的直径，E是长线上一点，且． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求线段的长． 2．（9分）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE＝DE． （1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，sinC＝，求⊙O的半径． 3. 本小题分 如图，，为的两条半径，直线与相切于点． 请用无刻度的直尺和圆规过点作线段的垂线要求：不写作法，保留作图痕迹； 连接，若中所作垂线分别与，直线交于点和点． 求证：； 若的半径为，，求的长． 4．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝AC＝6，，求DE的长． 5．[概念引入] 在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距． [概念理解] （1）如图1，在⊙O中，半径是5，弦AB＝8，则这条弦的弦心距OC长为 　3　． （2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在⊙O中，AB＝CD，OM⊥AB，ON⊥CD，求证：OM＝ON． [概念应用]如图3，在⊙O中AB＝CD＝16，⊙O的直径为20，且弦AB垂直于弦CD于E，请应用上面得出的结论求OE的长． 6．（9分）如图是从独轮车中抽象出来的几何模型，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，连接OE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CD＝6，∠ACB＝30°，求线段OE的长． 7．（10分）如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点． （1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法，保留作图痕迹）； （2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE． 8．如图，AB是⊙O的直径，E为AB延长线上一点，EC切⊙O于C，AD⊥CE于点D． （1）求证：∠DAC＝∠EAC； （2）如果BE＝2，CE＝4，求线段AD的长． 1. 如图，内接于，、是的直径，E是长线上一点，且． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）是的切线；见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是，根据圆周角定理得出，推出即可得出结论； （2）根据，得到，即可得，再根据勾股定理得出即可． 【小问1详解】 与相切，理由：∵是的直径，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵是的直径，即是半径，∴是的切线； 【小问2详解】 由（1）知，，在和中， ∵，，∴，∴， 在中，，，∴， 解得（负值舍去），即线段的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定是解答本题的关键． 2．（9分）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE＝DE． （1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，sinC＝，求⊙O的半径． 【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线； 理由：如图，连接OD． ∵EB＝ED，OB＝OD，∴∠EBD＝∠EDB，∠OBD＝∠ODB， ∵BE是⊙O的切线，OB是半径，∴OB⊥BE， ∴∠OBE＝90°，∴∠EBD+∠OBD＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴OD⊥DE， ∵OD是半径，∴CD是⊙O的切线； （2）设OD＝OA＝r， ∵OD⊥C