北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

高二第一学期期末试卷数学 清华附中高22级 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中x项的系数为（ ） A. B. C. 5 D. 10 3. 若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图像关于原点对称 C. 在定义域内是增函数 D. 存在最大值 5. 在中，，则等于（ ） A. B. C. 9 D. 16 6. 已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点F是双曲线的一个焦点，直线，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 数列是递增数列 9. 已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点距离的最大值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 10. 已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题共110分 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知复数对应的点到原点的距离是，则实数___________． 12. 已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为___________． 13. 已知函数在区间上的最大值为2，则正数的最小值为___________． 14. 从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有___________个． 15. 在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点的横坐标为，则；　②的最大值是； ③最小值是2；　④的最小值是． 其中，所有正确结论序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，四边形为矩形，平面平面，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角大小． 17. 在锐角中，． （1）求； （2）求周长的最大值． 18. 某区12月10日至23日的天气情况如图所示．如：15日是晴天，最低温度是零下9℃，最高温度是零下4℃，当天温差（最高气温与最低气温的差）是5℃． （1）从10日至21日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率： （2）从11日至20日中随机抽取两天，求恰好有一天温差不高于5℃的概率： （3）已知该区当月24日的最低温度是零下10℃．12日至15日温差的方差为，21日至24日温差的方差为，若，请直接写出24日的最高温度．（结论不要求证明） （注：，其中为数据的平均数） 19. 已知函数． （1）当时，求证：在上是增函数； （2）若在区间上存在最小值，求的取值范围； （3）若仅在两点处的切线的斜率为1，请直接写出的取值范围．（结论不要求证明） 20. 已知椭圆的焦距为，下顶点和右顶点的距离为， （1）求椭圆方程； （2）设不经过右顶点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于，若点为线段的中点，求证：直线经过定点． 21. 已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或 （1）已知，数列，写出所有“相邻数列”； （2）已知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； （3）已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值． 高二第一学期期末试卷数学 清华附中高22级 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 第二部分非选择题共110分 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】72 【15题答案】 【答案】①②④