2024年九年级中考数学探究题 专项训练

1. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 2．（10分）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB＝3，如图1，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN． 患考探索 （1）如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC． ①点B'在以点E为圆心，　 　的长为半径的圆上； ②B'M＝　 　； 拓展延伸 （2）当AB＝3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD内部或边上，连接AB'． ①△ABB'面积的最大值为 　 　； ②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP＝∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值． 3. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． 操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图放置； 操作二：将三角板沿方向平移两三角板始终接触至图位置． 根据以上操作，填空： 图中四边形的形状是______ ； 图中与的数量关系是______ ；四边形的形状是______ ． 迁移探究 小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下： 将三角板按中的方式操作，如图，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长． 拓展应用 在的探究过程中： 当为等腰三角形时，请直接写出的长； 直接写出的最小值． 4．（12分）[问题情境] （1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB＝AC，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE＝CF． 小明的证明思路是： 如图①，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF． 小颖的证明思路是： 如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，PE＝CG，则PD+PE＝CF．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种 [变式探究] （2）如图③，当点P在BC延长线上时，问题情境中，求证：PD﹣PE＝CF． [结论运用] （3）如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，垂足分别为G，H，若AD＝18，求PG+PH的值． [迁移拓展] （4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，EC⊥CB，垂足分别为D，C，AB＝cm，，M、N分别为AE，BE的中点，CN，请直接写出△DEM与△CEN的周长之和． 5．（11分）综合与实践 我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形． 实践操作：第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长AB＝，将矩形纸片ABCD对折，点C与点B重合，折痕为EF，EF与CA交于点H． 第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，折痕为CG，将矩形纸片展平 问题解决： （1）在图②中，sin∠ACB＝　 　，＝　　； （2）在图②中，CH2＝CG•　 　；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论； 拓展延伸： （3）将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D'落在矩形的内部或一边上，设∠DCD'＝a，连接D'A，D'A的长度为　 　． 6．（10分）已知正方形ABCD与正方形CEFG，点M是AF的中点，连接DM，EM． （1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论； （2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论； （3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请直接写出MF的长 　 　． 7．（10分）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 人们常说“不以规矩，不能成方圆”，在中国古