湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题

华中师大一附中2023－2024学年度上学期高二期末检测数学试题 时限：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（ ） A. B. C D. 3. “”是“a、b、c成等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 已知点为双曲线右支上的一个动点，则点到直线的距离的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在1和17之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 过抛物线焦点的直线与此抛物线交于两点，且．抛物线的准线与轴交于点，过点作于点．若四边形的面积为，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（ ） A. B. C D. 8. 已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知圆，则下列曲线一定与圆有公共点的是（ ） A. B. C. 抛物线的准线 D. 10. 在正方体中，为的中点，为的中点，是棱上靠近的四等分点，是棱上靠近点的四等分点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点可以是的中点 C. 点的轨迹是长方形 D. 点轨迹所在平面与平面相交 11. 双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光的反向延长线经过另一个焦点．如图，已知双曲线为双曲线的左、右焦点．某光线从出发照射到双曲线右支的点，经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过．双曲线在点处的切线与轴交于点，且反射光线所在直线的斜率为．则以下说法正确的是（ ） A. 点到直线和直线距离相等 B. C. 双曲线的离心率为2 D. 若过点的直线与双曲线交于两点，则点不可能是线段的中点． 12. 已知是等比数列的前项和，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 中任意奇数项的值始终大于任意偶数项的值 C. 的最大项为，最小项为 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若上的可导函数在处满足，则______． 14. 对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是______． 15. 已知抛物线，点和为此抛物线的两个内接三角形（即三角形的三个顶点均在拋物线上），且均以点为直角顶点，则直线与直线的交点坐标为______． 16. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，且，数列为牛顿数列．设，已知，则______，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出立字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知圆， （1）已知直线，设与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程； （2）记（1）中点的轨迹为曲线，点为曲线上一点，点为直线上一点，求的取值范围． 18. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足：，． （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的通项公式． 19. 已知双曲线的离心率为分别为双曲线的左、右两个顶点，左顶点到双曲线渐近线的距离为； （1）求双曲线的方程； （2）若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 20. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，，，点E在线段AB上，且，F为BC的中点． （1）求证：平面； （2）若直线与平面ABCD所成角的大小为45°，求二面角的余弦值． 21. 已知数列满足：，且．记数列为，记数列为. （1）求证：是等差数列，并求的通项