1.2.2 等差数列的前n项和8种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

2.2 等差数列的前n项和8种常见考法归类 课程标准 学习目标 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握有关a1，an，d，n，Sn的基本运算．(数学运算) 3．能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决最值问题、实际问题等．(数学建模、数学运算) 知识点01等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注：（1）等差数列的前n和公式的推导 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法) ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法. 今后，某些数列求和常常会用到这种方法． (2)公式的结构 ①Sn＝形似于梯形面积公式． ②Sn＝na1＋d＝n2＋n形似n的二次式，且常数项为0，n2的系数为即公差的一半． (3)等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. 【即学即练1】设等差数列的前n项和为． (1)已知，，求； (2)已知，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． 【即学即练2】设是等差数列的前n项和为，若，，则______． 知识点02等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列，公差为n2d； （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. （3） 等差数列中，,则,. 注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n) （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； 【即学即练3】在等差数列中，若，则数列的前项和（    ） A．15 B．20 C．30 D．35 【即学即练4】在前n项和为的等差数列中，，，则______． 【即学即练5】等差数列中，，前项和为，若，则______. 【即学即练6】已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则=（    ） A． B． C． D． 知识点03等差数列的前n项和的最值 (1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值． 在等差数列{an}中， 当，时，有最大值(即所有非负项之和)；，时，有最小值(即所有非正项之和)； 若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值. (2)利用等差数列的前n项和：Sn＝n2＋n((为常数, ))，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值,通过配方或借助图像，二次函数的性质等，将等差数列的前n项和最值问题转化为二次函数的最值的方法求解. 注：当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一． 【即学即练7】在数列中，若，前项和，则的最大值为______． 【即学即练8】【多选】已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练9】已知等差数列的前n项和为．若，且，则满足的最大正整数的n的值为________． 题型一：等差数列前n项和的基本运算 例1．（2024上·宁夏固原·高三统考期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（　　） A．120 B．60 C．160 D．80 变式1．（2024上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）在等差数列中，，其前项和为，若，则 . 变式2．（2024上·江苏无锡·高三统考期中）设等差数列{an}的前n项和为，且，则 . 变式3．（2024上·江西·高三校联考开学考试）等差数列的前n项和为，若，，则 ． 变式4．（2024·河南开封·高三校考阶段练习）记为等差数列的前n项和．若，