2.1 平均变化率与瞬时变化3种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

2.1 平均变化率与瞬时变化3种常见考法归类 课程标准 学习目标 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程． 2．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 3．体会极限思想 1.了解平均变化率、瞬时变化率．(数学抽象) 2．会求平均变化率．(数学运算) 3．会求函数在某点处的瞬时变化率．(数学运算) 知识点01平均变化率 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为．通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． 注：函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快． 【即学即练1】已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为(　　) A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29 【即学即练2】如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　 　) A．-1 B．1 C．-2 D．2 知识点02 瞬时变化率 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0), 则函数的平均变化率是＝＝． 当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢． 注：平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度． 【即学即练3】物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝ ＝18 m/s，则下列说法中正确的是(　　) A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度 B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度 C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度 D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度 【即学即练4】【多选】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则（ ） A．物体在时的瞬时速度为0m/s B．物体在时的瞬时速度为1m/s C．瞬时速度为9m/s的时刻是在时 D．物体从0到1的平均速度为2m/s 题型一：求函数的平均变化率 例1.某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 变式1.函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________. 变式2.函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【方法技巧与总结】 1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1. 第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)． 第三步，求平均变化率＝. 2．求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率，可用的形式． 题型二：平均变化率的实际应用 例2.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（ ） A． B． C． D． 变式1.某公司的盈利（元）与时间（天）的函数关系是，假设（）恒成立，且，，则说明后10天与前10天比（ ） A．公司亏损且亏损幅度变大 B．公司的盈利增加，增加的幅度变大 C．公司亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利增加，增加的幅度变小 变式2.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则： （1）前3 s内球的平均速度为________m/s； （2）在t∈[2，3]这段时间内球的平均速度为________m/s. 【方法技巧与总结】 平均变化率的意义 1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论． 2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢． 题型三：运动物体的平均速度与瞬时速度 例3.某物体的运动路程s(单位：m)