第6板块 小题考法(三) 利用导数研究函数的性质（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

小题考法(三)　利用导数研究函数的性质　 　导数的几何意义 1．已知函数f(x)＝－2x＋ln x，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　 ) A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x＋y－1＝0 D．2x－y＋1＝0 解析：选C　因为f′(x)＝－－2＋，所以f′(1)＝－2.又f(1)＝－1，故函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，化简得2x＋y－1＝0.故选C． 2．(2023·洛阳模拟)已知曲线f(x)＝过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP.记A，B两点的横坐标分别为x1，x2，则x1x2＝(　 ) A． B．1 C． D．2 解析：选B　当0<x<1时，f′(x)＝－<0，当x>1时，f′(x)＝>0.依题意，曲线f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则x1，x2在1的两侧，不妨令0<x1<1<x2，因此－·＝－1，解得x1x2＝1.故选B． 3．若函数f(x)＝3x＋－3(x>0)的图象与函数g(x)＝txex的图象有公切线l，且直线l与直线y＝－x＋2互相垂直，则实数t＝(　 ) A． B．e2 C．或2 D．或4 解析：选D　由题知，kl＝2，令f′(x)＝3－＝2.又x>0，解得x＝1.因为f(1)＝1，所以切线l的方程为y＝2x－1.g′(x)＝t(x＋1)ex，设函数g(x)＝txex与直线l切于点(x0，y0)，所以故 即＝，2x－x0－1＝0， 解得或故选D． 4．(2023·潍坊模拟)函数y＝k(x－1)与y＝ln x的图象有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为(　 ) A．{1} B．[e，＋∞) C．(－∞，0]∪{1} D．(－∞，0]∪{1}∪[e，＋∞) 解析：选C　∵y＝k(x－1)过定点(1,0)，且(1,0)在y＝ln x上．又∵y＝ln x，则y′＝，∴y＝ln x在x＝1处的切线斜率为k＝1.结合图象可得当k≤0时，y＝k(x－1)与y＝ln x的图象有且只有一个公共点，则k≤0符合题意；当0<k<1时，y＝k(x－1)与y＝ln x的图象有两个公共点，则0<k<1不符合题意；当k＝1时，y＝k(x－1)与y＝ln x的图象有且只有一个公共点，则k＝1符合题意；当k>1时，y＝k(x－1)与y＝ln x的图象有两个公共点，则k>1不符合题意．综上所述，实数k的取值范围为(－∞，0]∪{1}．故选C． [思维建模] (1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标． (2)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．　　 　利用导数研究函数的单调性 [讲评提能] 角度1　利用函数的单调性求参数 [例1]　(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． [解析]　由题意得当x>0时，f′(x)＝axln a＋(1＋a)xln(1＋a)＝ax≥0，设g(x)＝ln a＋xln(1＋a)，因为ax>0，所以g(x)≥0. 因为a∈(0,1)，所以ln(1＋a)>0，＋1>2，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故只需满足g(0)≥0，即ln a＋ln(1＋a)＝ln(a＋a2)≥0，所以a＋a2≥1，解得a≤－或a≥，又0<a<1，所以a的取值范围为. [答案]　 [思维建模] 利用函数的单调性求参数的取值范围的思路 (1)由函数在区间[a，b]上单调递增(或递减)可知f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立； (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； (3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．　　 角度2　利用函数单调性比较大小或解不等式 [例2]　(2023·重庆二模)设实数x>1，y∈R，e为自然对数的底数，若exln x＋ey<yey，则(　 ) A．eyln x>e B．eyln x<e C．ey>ex D．ey<ex 解题微“点” 切入点 可对原不等式进行变形，再将y－1转换成ln ey－1，构造函数g(x)＝xln x，研究其函数的单调性，并根据x和ey－1的大小关系，利用g(x)的单调性进行求解即可 易错点 不会对已知条件变形，无法与选项结合起来，导致无法探寻解题思路 隐藏点 已知条件可变形为同构式 [解析]　由exln x＋ey<yey，得exln x<yey－ey＝ey(y－1)，两边同除e得xln x<ey－1(y－1)