第6板块 小题考法(二) 基本初等函数及其函数的应用（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

小题考法(二)　基本初等函数及其函数的应用　　 　基本初等函数的图象与性质 1．(2023·济宁三模)若2m＝3n＝k且＋＝2，则k＝(　 ) A． B． C．5 D．6 解析：选B　因为2m＝3n＝k且＋＝2，所以m≠0且n≠0，所以k>0且k≠1，且有m＝log2k，n＝log3k，所以＝logk2，＝logk3，所以＋＝logk2＋logk3＝logk6＝2，则k2＝6，又因为k>0且k≠1，解得k＝. 2．(2023·聊城三模)设a＝0.20.5，b＝0.50.2，c＝log0.50.2.则(　 ) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a 解析：选D　由y＝0.2x单调递减可知0.20.5<0.20.2.由y＝x0.2单调递增可知0.20.2<0.50.2，所以0.20.5<0.50.2，即a<b，且b<1.由y＝log0.5x单调递减可知c＝log0.50.2>log0.50.5＝1，所以c>b>A．故选D． 3．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　 ) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 解析：选A　函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f，又<2－<<1，所以f<f<f，所以b>c>a，故选A． 4．(2023·武汉模拟)(多选)已知实数a，b，c满足cln a＝c·eb＝1，则下列关系式中可能成立的是(　 ) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 解析：选ABC　由cln a＝c·eb＝1可知，c≠0，所以ln a＝eb＝.设ln a＝eb＝＝x，则a＝ex，b＝ln x，c＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ex，y＝ln x，y＝的图象， 由图可知，当0<x<x1时，c>a>b，此时C正确；当x1<x<x2时，a>c>b，此时B正确；当x>x2时，a>b>c，此时A正确．故选A、B、C． 5．(2023·北京顺义校考模拟预测)已知函数f(x)＝lg x＋x2－1，则不等式f(x)>0的解集是________． 解析：lg x＋x2－1>0，lg x>1－x2，作出函数y＝lg x，y＝－x2＋1的图象如图， 由图可知，满足不等式lg x>－x2＋1的x的取值范围为(1，＋∞)，所以不等式f(x)>0的解集是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞) [思维建模] 基本初等函数的图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论； (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断； (3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．　　 　函数模型的实际应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2023·烟台模拟)地震震级是对地震本身能量大小的相对量度，用M表示，M可通过地震面波质点运动最大值(A/T)max进行测定，计算公式如下：M＝lg(A/T)max＋1.66lg Δ＋3.5(其中Δ为震中距)．若某地发生6.0级地震，测得(A/T)max＝0.001，则可以判断(参考数据：20.313≈1.24,50.313≈1.65)(　 ) A．震中距在2 000～2 020之间 B．震中距在2 040～2 060之间 C．震中距在2 070～2 090之间 D．震中距在1 040～1 060之间 解析：选B　依题意，6.0＝lg 0.001＋1.66lg Δ＋3.5，则5.5＝1.66lg Δ，则lg Δ＝≈3.313，故Δ≈103.313＝103×20.313×50.313≈1 000×1.24×1.65＝2 046.故选B． 2．(教考衔接：人教A版必修①P161T10改编)民以食为天，科学研究表明：温度太高的食物能对消化道黏膜造成伤害，温度太低的食物容易引起消化道不适．因此，适宜的进食温度在10 ℃到40 ℃左右，大量实验数据表明：把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0，那么t min后物体的温度θ(单位：℃)满足公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(其中k为常数)．现有60 ℃的物体放在20 ℃的空气中冷却，2 min后物体的温度是4