第5板块 小题考法(二) 圆锥曲线的方程与性质（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

小题考法(二)　圆锥曲线的方程与性质 　圆锥曲线的定义及标准方程 1．设O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，直线y＝1与抛物线C交于A，B两点，若∠AFB＝120°，则抛物线C的准线方程为(　 ) A．y＝－ B．y＝－3 C．y＝－或y＝－3 D．y＝－或y＝－6 解析：选C　设直线y＝1与y轴交点为M，由抛物线的对称性，易知△MFA为直角三角形，且∠AFM＝∠AFB＝60°，所以|AF|＝2|FM|.即1＋＝2，去绝对值，解得p＝或p＝6，所以抛物线的准线方程为y＝－或y＝－3.故选C． 2．已知双曲线C：－＝1(m>0)的上、下焦点分别为F1，F2，若存在点M(λ，λ)，使得|MF2|－|MF1|＝2，则实数m的取值范围为(　 ) A．(1，＋∞) B．(1,5) C．(5，＋∞) D．(0,5) 解析：选C　由双曲线方程知，实轴长2a＝2，渐近线方程为y＝±x.由双曲线定义知，在双曲线C上半支任取一点P，则|PF2|－|PF1|＝2；∵M(λ，λ)在直线y＝x上，∴若存在点M(λ，λ)，使得|MF2|－|MF1|＝2，则双曲线C与y＝x有交点，∴<1，解得m<0(舍去)或m>5.∴实数m的取值范围为(5，＋∞)．故选C． 3．(2023·韶关统考)(多选)曲线C的方程为x2－－4＝0，则(　 ) A．当λ>0时，曲线C是焦距为4的双曲线 B．当λ<－1时，曲线C是焦距为4的双曲线 C．曲线C不可能为圆 D．当－1<λ<0时，曲线C是焦距为4的椭圆 解析：选AD　当λ>0时，方程x2－－4＝0化为－＝1，曲线C是焦距为2＝4的双曲线，故A正确；当λ<－1时，方程x2－－4＝0化为＋＝1，曲线C是焦点在y轴上，焦距为2＝4的椭圆，故B错误；当λ＝－1时，曲线C表示圆x2＋y2＝4，故C错误；当－1<λ<0时，方程x2－－4＝0化为＋＝1，曲线C是焦点在x轴上，焦距为2＝4的椭圆，故D正确．故选A、D． 4．(2023·万州模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为－，则椭圆E的方程为(　 ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选A　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由对称性可得D(－x2，－y2)，则＋＝1，＋＝1，所以两式相减可得＝－.因为直线AB与AD的斜率之积为－，所以·＝－.即＝－，所以＝.设椭圆E的半焦距为c，因为椭圆E的焦距为4，所以2c＝4.所以c＝2.又a2＝b2＋c2，所以b2＝4，a2＝8.所以椭圆E的标准方程为＋＝1.故选A． 5．已知椭圆＋＝1(0<b<3)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为10，则b的值是(　 ) A．2 B． C． D． 解析：选C　∵F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，∴|AF1|＋|AF2|＝6，|BF1|＋|BF2|＝6. △AF2B的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝12，即|BF2|＋|AF2|＝12－|AB|，若|AB|最小，则|BF2|＋|AF2|最大．又当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时|AB|＝＝，故12－＝10，解得b＝.故选C． [思维建模] (1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理． (2)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是指确定类型；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．　　 　圆锥曲线的几何性质 [讲评提能] [例1]　(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(9,6)在C上，直线PF交C于另一点Q，则(　 ) A．C的准线方程为x＝1 B．直线PQ的斜率为 C．|FQ|＝2 D．线段PQ的中点的横坐标为 [解析]　∵点P(9,6)在抛物线C上，∴18p＝36，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，准线x＝－1，故A错误；直线PQ的斜率k＝＝，故B正确；直线PQ的方程为y＝(x－1)，联立方程解得或即Q，故|FQ|＝＋＝＋1＝.故C错误；线段PQ的中点的横坐标为＝，故D正确．故选B、D． [答案]　BD [例2]　(2023·济宁三模)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，若在双曲线C左支上存在点P使得PA⊥PB，则该双曲线的离心率的取值范围是(　 ) A．(1,3] B．[3，＋∞) C．(1,2] D．[2，＋∞) 解题微“点” 切入点 求出点A，B