第5板块 大题专攻(二) 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(二)　圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 　定点问题 [例1]　(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A(－2,0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2,3)的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． [解]　(1)由题意可得解得所以椭圆方程为＋＝1. (2)证明：由题意可知，直线PQ的斜率存在，设PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0， 则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k＞0，解得k＜0. 可得x1＋x2＝－，x1x2＝. 因为A(－2,0)，则直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得y＝，即M， 同理可得N， 则＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝＝3，所以线段MN的中点是定点(0,3)． [思维建模]　直线过定点问题的解题模型 设参数 依题意条件设出相关的参数，如设出直线的斜率 求直线 利用题设条件，求直线系方程 建联系 联立直线与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系，求出定点的坐标 得结论 判断定点的坐标满足所求的直线系方程，即可证出直线经过该定点 [对点训练] 1．(2023·济宁二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的右焦点F到其渐近线的距离为. (1)求该双曲线C的方程； (2)若直线l与双曲线C在第一象限交于A，B两点，直线x＝3交线段AB于点Q，且S△FAQ∶S△FBQ＝|FA|∶|FB|，证明：直线l过定点． 解：(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x， 又因为双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为，所以＝b＝. 又e＝＝，a2＋b2＝c2，联立解得a＝， 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)证明：由已知得，双曲线C的右焦点为F(3,0)，直线x＝3过双曲线C的右焦点． 则＝ ＝＝， 所以sin∠AFQ＝sin∠BFQ.所以直线AF与直线BF的倾斜角互补，kAF＋kBF＝0. 显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立得(2－k2)x2－2kmx－m2－6＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝－. 因为kAF＋kBF＝0，所以＋＝0. 所以＋＝0. 所以(kx1＋m)(x2－3)＋(kx2＋m)(x1－3)＝0.整理得2kx1x2＋(m－3k)(x1＋x2)－6m＝0. 所以－2k·＋(m－3k)·－6m＝0.化简得k＋m＝0，即m＝－k， 所以直线l的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，恒过(1,0)点．所以直线l过定点． 　定值问题 [例2]　(2023·河北校联考模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一动点(与左、右顶点不重合)，已知△PF1F2的内切圆半径的最大值是，椭圆的离心率是. (1)求椭圆C的方程； (2)过H(4,0)作斜率不为0的直线l交椭圆于A，B两点，过B作垂直于x轴的直线交椭圆于另一点Q，连接AQ，设△ABQ的外心为G，求证：为定值． [解]　(1)由题意知，＝， 所以a＝2c，b2＝a2－c2，b＝C． 设△PF1F2的内切圆半径为r， 则S△PF1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·r＝(2a＋2c)·r＝(a＋c)·r. 故当△PF1F2面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r＝， 所以(a＋c)＝bc，把a＝2c，b＝c代入，解得a＝2，b＝， 所以椭圆方程为＋＝1. (2)证明：由题意知，直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB为x＝ty＋4， 代入椭圆方程得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0. Δ＝(24t)2－144(3t2＋4)＝144(t2－4)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 因此可得x1＋x2＝， 所以AB的中点坐标为. 因为G是△ABQ的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段BQ的垂直平分线的交点． 由题意可知B，Q关于x轴对称， 故Q(x2，－y2)，AB的垂直平分线方程为－t＝y＋， 令y＝0，得x＝，即G， 所以|GF2|＝＝. 又|AQ|＝ ＝ ＝＝， 故＝4，所以为定值，定值为4. [思维建模] 圆锥曲线中三种定值问题 (1)代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； (2)线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得； (3)点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．