第4板块 小题考法(二) 概率（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

小题考法(二)　概　率 　古典概型 1．(2023·张家界二模)有3本不同的科技类书，2本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一类别的书都不相邻的概率是(　 ) A． B． C． D． 解析：选B　若同一类别的书都不相邻，则先将3本科技类书排序，然后将2本文艺类书插入中间2个空，所以同一类别的书都不相邻的概率P＝＝.故选B． 2．算盘起源于中国，迄今已有2 600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51)．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为(　 ) A． B． C． D． 解析：选B　拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为2,6,20,60；第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为11,15,51,55，所以表示不同整数的个数为8.其中表示的数字大于50的有51,55,60共3个，所以表示的数字大于50的概率为.故选B． 3．(教考衔接：人教A版选择性必修③ P28T19改编)为弘扬传统文化，某校进行了书法大赛，同学们踊跃报名，在成绩公布之前，可以确定甲、乙、丙、丁、戊5名从小就练习书法的同学锁定了第1至5名．甲和乙去询问成绩，组委会对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是五人中最差的．”则最终丙和丁获得前两名的概率为(　 ) A． B． C． D． 解析：选D　由概率的相关性质，只需分析甲乙丙丁戊五人情况即可．①若甲是最后一名，则乙可能是二、三、四名，剩下三人共有A种情况，此时共有3A＝18种情况；②若甲不是最后一名，则甲、乙需排在二、三、四名，有A种情况，剩下三人共有A种情况，此时有AA＝36种情况，则一共有36＋18＝54种不同的名次情况，最终丙和丁获得前两名的情况有A(A＋A)＝8种，故丙和丁获得前两名的概率P＝＝. 4．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 解析：从正方体的8个顶点中任选4个，取法有C＝70(种)．其中4个点共面有以下两种情况： (1)所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法； (2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法． 所以所取的4个点在同一个平面的概率P＝＝. 答案： [思维建模] (1)解决古典概型问题的关键是求样本点的个数，其常用方法有：枚举法、树状图法，利用排列组合知识计算． (2)对于较复杂的事件所包含的样本点数的计算，要利用分类讨论思想、正难则反的思想方法求解．　　 　相互独立事件的概率、条件概率与全概率公式 [讲评提能] [例1]　(多选)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则(　 ) A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 [解析]　设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则P(A)＝＝，P(B)＝×＋×＝，故A正确．P(C)＝2××＝，P(D)＝2××＝，故B错误．而P(AD)＝＝＝P(A)P(D)，故C正确．两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确． [答案]　ACD [例2]　(2023·石家庄模拟)(多选)甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(　 ) A．P(B|A2)＝ 　　 B．事件A1与事件B相互独立 C．P(A3|B)＝ 　　 D．P(B)＝ [解析]　由题意得P(B|A2)＝＝，所以A正确；因为P(B|A1)＝，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝，所以P(B)≠P(B|A1)，即P(B)P(A1)≠P(BA1)，故事件A1与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；P(A3|B)＝＝＝＝，所以C错误． [答案]　AD