第4板块 大题专攻(四) “概率与统计”大题的思维建模（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(四)　“概率与统计”大题的思维建模 一 宏观掌握解题通路：概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型 (1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、独立等； (2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等； (3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等； (4)准确选择排列组合的方法来计算样本点个数和样本点总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率； (5)确定随机变量取值并按照属于超几何分布还是二项分布求其对应的概率，写出分布列后再求期望； (6)会套用求，χ2的公式求值，再作进一步求值与分析．　 [解题示范] [典例]　某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？请说明理由． [应用体验] 某车间购置了三台机器，这种机器每年需要一定次数的维修，现统计了100台这种机器一年内维修的次数，其中每年维修2次的有40台，每年维修3次的有60台，用X代表这三台机器每年共需要维修的次数． (1)以频率估计概率，求X的分布列与数学期望； (2)维修厂家有A，B两家，假设每次仅维修一台机器，其中A厂家单次维修费用是550元，B厂家对同一车间的维修情况进行记录，前5次维修费用是每次600元，后续维修费用每次递减100元，从每年的维修费用的期望角度来看，选择哪家厂家维修更加节省？ 解：(1)以频率估计概率，一台机器每年需要维修2次的概率为，需要维修3次的概率为， 设Y为这三台机器每年单个需要维修三次的台数， 则X＝Y＋6，且Y～B， 所以P(X＝6)＝P(Y＝0)＝3＝， P(X＝7)＝P(Y＝1)＝C2×＝， P(X＝8)＝P(Y＝2)＝C××2＝，P(X＝9)＝P(Y＝3)＝3＝. 所以X的分布列为 X 6 7 8 9 P 则E(X)＝E(Y)＋6＝3×＋6＝. (2)选择A厂家每年维修费用的期望为×550＝4 290(元)， 选择B厂家每年维修费用的期望为3 500×＋3 900×＋4 200×＋4 400×＝4 112(元)， 因为4 112<4 290，所以选择B厂家更加节省． 二 技法(一)　信息巧提取　 [例1]　(2023·佛山开学摸底)高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，某一年乘坐高铁或飞机从A市到B市的成年人约50万人次，为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取了100人次作为样本，得到下表(单位：人次)． 老年人 中年人 青年人 满意度 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10分(满意) 12 1 20 2 20 1 5分(一般) 2 3 6 2 4 9 0分(不满意) 1 0 6 3 4 4 (1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率； (2)从这一年乘坐高铁从A市到B市的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望； (3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由． [技法点拨]　此类问题文字叙述较长，解答问题应快速锁定有效信息，其技巧是：①快速了解“无关信息”；②仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例数字、字母等)；③明确题目所求内容． 如本题(2)问中，可将“随机选取1人次，此人次为老年人”视为事件A，则随机选取2人次相当于2重伯努利试验．X表示事件A发生的次数，故X服从二项分布． [解题观摩] (1)设事件M为“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”．由表可得，样本中出行的老年人、中年人人次分别为19,39. 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)＝＝. (2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2. 易知从乘坐高铁从A市到B市的所有成年人中，随机选取1人次，此人次为老年人的概率是P＝＝.所以P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝2＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2