第4板块 大题专攻(二) 离散型随机变量的分布列（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(二)　离散型随机变量的分布列 　定义法求离散型随机变量的分布列、期望与方差 [例1]　乒乓球是中国的国球，我国选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军，乒乓球运动也深受人们的喜爱．乒乓球主要有白色和黄色两种，国际乒联将球的级别用星数来表示，星级代表质量指标等级，星级越高质量越好，级别最高为“☆☆☆”，即三星球，国际乒联专业比赛指定用球，二星球适用于国内重大比赛及国家队专业训练，一星球适用于业余比赛或健身训练．一个盒子装有9个乒乓球，其中白球有2个三星“☆☆☆”，4个一星“☆”，黄球有1个三星“☆☆☆”，2个一星“☆”． (1)逐个无放回取两个球，记事件A＝{第一次取到白球}，事件B＝{第二次取到三星球}，求P(B)，P(AB)，P(A)，并判断事件A与事件B是否相互独立； (2)逐个无放回取球，取出白球即停止，取出的三星球数记为随机变量X，求随机变量X的分布列及期望． [解]　(1)“第二次取到三星球”的概率为P(B)＝×＋×＝， “第一次取到白球且第二次取到三星球”的概率为 P(AB)＝×＋×＝， “第一次取到白球”的概率为P(A)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝. 因为P(AB)＝P(A)P(B)成立，所以事件A与事件B相互独立． (2)X可能取值为0,1,2， P(X＝0)＝＋×＋××＝， P(X＝2)＝×＋2×××＋3××××＝， P(X＝1)＝＋×＋×＋2×××＋××＋3××××＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. [思维建模]　离散型随机变量分布列的模型解法 [对点训练] 1．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花当作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理如表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的数学期望及方差； ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，并希望利润能比较稳定．你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 解：(1)当n≥16时，y＝16×(10－5)＝80.当n≤15时，y＝5n－5(16－n)＝10n－80.所以y关于n的函数解析式为y＝n∈N. (2)①X的所有可能取值为60,70,80，E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下： 当一天购进17枝时，当天的利润Y的概率分布为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04. 由以上计算结果可以看出，D(X)<D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)<E(Y)，但两者相差不大，故花店一天应购进16枝玫瑰花． 　三类分布模型及其应用 模型1　二项分布 [例2]　某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作． (1)对于方案一，设X为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E(X)； (2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？ [解]　(1)由题意，可得方案一中，随机变量X～B，则P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝2＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝2×＝. (2)对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为P1，则P1＝1－[1－P(X＝2)]3＝1－3＝. 对于方案二：设机器发生故障时不能及时维