第3板块 特别指导 空间动态问题的题型研究（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

特别指导—空间动态问题的题型研究 立体几何中的“动态问题”是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的，是可变的一类开放性问题．因其某些点、线、面位置的不确定，往往成为学生进行常规思考、转化的障碍．主要包括空间中动点的轨迹判断，求轨迹的长度及动角的范围，判断动点、动线、动面的位置关系等． 题型(一)　动点的轨迹问题　 [例1]　(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M是侧面BB1C1C上的一个动点(含边界)，下列结论正确的有(　 ) A．若A，B，M，D1四点共面，则点M的运动轨迹长度为4 B．若AM⊥BD1，则点M的运动轨迹长度为4 C．若AM＝2，则点M的运动轨迹长度为2π D．若直线AM与D1C1所成的角为45°，则点M的运动轨迹长度为2π [解析]　因为AB∥C1D1，所以A，B，C1，D1确定一个平面，而不共线的三点A，B，D1在这个平面内． 所以A，B，M，D1确定的平面即为平面ABC1D1，故点M在BC1上，即点M的轨迹为BC1，BC1＝4，故A正确； 如图，连接AB1，B1C，AC，A1B，CD1.因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，所以BC⊥平面ABB1A1，而AB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB1. 又AB1⊥A1B，BC∩A1B＝B，BC，A1B⊂平面A1BCD1，所以AB1⊥平面A1BCD1. 又BD1⊂平面A1BCD1，所以AB1⊥BD1，同理可证AC⊥BD1. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面AB1C，所以BD1⊥平面AB1C．故当AM⊥BD1时，点M在B1C上，即点M的轨迹为B1C，B1C＝4，故B正确； 因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，所以AB⊥平面BCC1B1. 而BM⊂平面BCC1B1，所以AB⊥BM，所以BM＝＝＝2. 所以点M的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，则轨迹长度为×2πr＝π，故C错误； 因为AB∥C1D1，直线AM与D1C1所成的角为45°，所以AM与AB所成的角为45°，即∠MAB＝45°.所以在直角△MAB中，AB＝BM＝4. 所以点M的轨迹是以B为圆心，4为半径的圆，则轨迹长度为×2πr＝2π，故D正确． [答案]　ABD [反思领悟] 以立体几何为载体的轨迹问题综合性强，解答这类问题的关键是将空间问题转化为平面问题，一般可以从两方面考虑：一是利用曲线的定义找出轨迹，二是利用解析法求出轨迹方程．　　 [应用体验] 1.如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1上的点，且DP＝2PD1，AA1＝3，AB＝1.若点Q在侧面BCC1B1(包括其边界)上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹长度为(　 ) A． B． C． D． 解析：选D　如图，在侧棱AA1上取一点R，使得AR＝2RA1，连接PR，BR，过点A作AN⊥BR交BR于点M，交BB1于点N，连接AC，CN，由PR∥AD，可知PR⊥AN，BR，PR⊂平面BPR，BR∩PR＝R，从而AN⊥平面BPR，所以BP⊥AN.连接BD，由BP在平面ABCD内的射影BD⊥AC，所以BP⊥AC，AN，AC⊂平面ACN，AN∩AC＝A，知BP⊥平面ACN.CN⊂平面ACN，所以BP⊥CN.所以动点Q的轨迹为线段CN.在Rt△ABN，Rt△RAB中，∠BAN＝∠ARB，所以Rt△ABN∽Rt△RAB，则＝，得BN＝.易得CN＝＝＝. 2．已知正四面体S－ABC的棱长为2，点M为平面ABC内的动点，设直线SM与平面ABC所成的角为θ，若sin θ∈，则点M的轨迹所形成平面图形的面积为(　 ) A． B．π C．2π D．4π 解析：选B　如图，在正四面体S－ABC中，顶点S在底面ABC的投影为正△ABC的中心O，即SO⊥平面ABC．因为正四面体S－ABC的棱长为2，所以AO＝××2＝2.所以SO＝＝＝2.因为直线SM与平面ABC所成的角为θ，所以sin θ＝＝.因为sin θ∈.所以∈.所以2≤SM≤3.因为OM＝＝，所以0≤OM≤1.所以点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆面．所以点M的轨迹所形成平面图形的面积为π. 题型(二)　动态几何中的最值问题　 [例2]　(多选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝4，M为CC1的中点，P为线段A1M上的动点，则下列说法正确的是(　 ) A．AP＋BP的最小值为4 B．三棱锥P－ABM的体积的最大值为 C．不存在点P，使得BP与平面A1B1C1所成角为60° D．三棱锥M－ABC的外接球的表面积为 [解析]　在△AMA1中，AA1＝4，A1M＝AM＝＝＝2，故AM2＋A1M2＝AA，所以AM⊥A1M.故AP≥AM，当且仅当P在M处时取等号