第3板块 大题专攻(一) “立体几何”中的空间角与距离问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(一)　“立体几何”中的空间角与距离问题 　直线与平面所成的角 [例1]　(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值． [解]　(1)证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC． 因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE. 又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED． 又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD． (2)因为AB＝BC＝2，∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，则AC＝2，BE＝，AE＝1. 因为AD＝CD，AD⊥CD，所以△ADC为等腰直角三角形，所以DE＝1. 所以DE2＋BE2＝BD2，则DE⊥BE. 由(1)可知，AC⊥平面BED．连接EF，因为EF⊂平面BED，所以AC⊥EF.当△AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最小，即EF的长度最小．在Rt△BED中，当EF的长度最小时，EF⊥BD，EF＝＝. 法一：又DE⊥AC，BE⊥AC，所以EA，EB，ED两两垂直，以E为坐标原点，EA，EB，ED所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，，0)，D(0,0,1)，C(－1,0,0)，＝(－1，，0)，＝(0，，－1)． 易得DF＝，FB＝，所以3＝.设F(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，－y，－z)，所以3(0，y，z－1)＝(0，－y，－z)，得y＝，z＝，即F，所以＝. 设平面ABD的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则不妨取y1＝1，则x1＝，z1＝，n＝(，1，)． 记CF与平面ABD所成的角为α， 则sin α＝|cos〈，n〉|＝＝. 法二：因为E为AC的中点，所以点C到平面ABD的距离等于点E到平面ABD的距离的2倍． 因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC． 因为VD－AEB＝VE－ADB， 所以×AE×BE×DE＝×S△ABD×，其中d为点C到平面ABD的距离． 在△ABD中，BA＝BD＝2，AD＝， 所以S△ABD＝，所以d＝. 因为AC⊥平面BED，EF⊂平面BED，所以AC⊥EF，所以FC＝＝.记CF与平面ABD所成的角为α， 则sin α＝＝. [思维建模] 1．用向量法破解此类线面所成角问题的关键 用定理 利用平行或垂直的判定定理，明确写出所证明的推理过程，注意推理的严谨性 建系 找出(或作出)两两垂直的三条直线，建立适当的空间直角坐标系 求向量 先分别求出几何体相关点的坐标，利用“终减起”，求出直线的方向向量，利用赋值法求出平面的法向量等 用公式 求两法向量的夹角的余弦值 得结论 根据向量夹角与线面角的关系，将向量夹角转化为所求的空间线面角 2.用几何法破解此类线面所成角问题的关键 会转化 把线面所成角问题转化为求点面距离d与斜线段长m的问题 求距离 常利用等体积法、等面积法等，求d 用公式 线面所成角的正弦值为 [对点训练] 1．(2023·徐州三模)如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2.D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上． (1)再从条件①、②、③、④中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明； (2)在(1)的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值． 条件①：PD＝；条件②：∠PED＝60°；条件③：PM＝3ME；条件④：PE＝3ME. 解：(1)证明：因为PD⊥平面ABC，DB⊂平面ABC，DC⊂平面ABC，所以PD⊥DB，PD⊥DC． 由题可知DB⊥DC，如图，以D为原点，DB，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则B(，0,0)，D(0,0,0)，C(0，，0)，E. 设P(0,0，t)(t>0)，＝λ(0<λ<1)， 则＝(，0,0)，＝(，0，－t)，＝(0，，－t)，＝，＝(0,0，t)． 故＝＋＝＋λ ＝. 设平面MBD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则令y1＝1，可得n1＝. 设平面PBC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则令x2＝y2＝1，可得n2＝. 要使平面MBD⊥平面PBC，需满足n1·n2＝1＋＝0⇒λ＝.注意到条件①⇔t＝， PD⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，PD⊥DE，又由题可知DE＝1，则条件②⇔t＝，条件③⇔λ＝，条件④⇔λ＝. 所以当条件①④成立或条件②③成立