第3板块 大题专攻(三) “立体几何”大题的思维建模（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(三)　“立体几何”大题的思维建模 一 宏观掌握解题通路：立体几何问题重在“建”——建模、建系 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建模、建系． 建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型，有时也需建立函数模型； 建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．　 [解题示范] [典例]　(2021·新课标Ⅰ卷)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD． (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积． [关键点拨] 1．利用法向量求解空间角的关键在于“四破” 破“建系关” 构建恰当的空间直角坐标系 破“求方向向量关” 首先准确求解相关点的坐标 破“求法向量关” 求出平面的法向量 破“应用公式关” 熟记求角公式，即可求出角 2.解答立体几何问题，应具备以下5点思维 (1)由于空间图形问题往往可转化为平面图形问题加以解决，因此要注意平面几何知识在解题中的灵活运用．例如，证线线平行可以利用三角形、梯形的中位线性质定理，还可以利用比例关系；证线线垂直可以利用菱形、正方形的对角线互相垂直，还可以利用勾股定理的逆定理． (2)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，由于大多数问题主要考查的是有关判定定理在证题中的灵活运用，所以我们要优先考虑对应的判定定理去寻找证题思路． (3)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，若对应的判定定理不便于运用，则应该及时考虑其他的证题思路．例如，要证线面平行，可以先证面面平行，再利用面面平行的性质；要证明线面垂直，可以先证面面垂直，再利用面面垂直的性质． (4)分析、解决有关立体几何问题时，往往需要考虑数形结合思想、分类与整合思想、转化思想在解题中的灵活应用． (5)由于立体几何解答题侧重考查空间向量法在解题中的灵活运用，所以必须熟练掌握利用空间向量法求解空间角的具体过程． [应用体验] (2023·哈尔滨模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为ABCD的中心，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形． (1)求证：PO⊥平面ABCD； (2)在线段AB上是否存在一点E，使二面角E－PC－D＝？若存在，请指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为O为ABCD的中心，所以O为AC，BD的中点，侧棱长都为，则△PAC，△PBD均为等腰三角形，由三线合一可知，PO⊥AC，PO⊥BD．又AC∩BD＝O， PO⊄平面ABCD，AC，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD． (2)由(1)易知PO，AC，BD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为正方形边长为2，侧棱长为，则D(－，0,0)，B(，0,0)，C(0，，0)，A(0，－，0)，P(0,0，)． 设＝t＝t(，，0)，则E(t，t－，0)，＝(，0，)，＝(－，－，0)． 设平面PCD的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则令x1＝1，则y1＝－1，z1＝－，故n＝. 又＝(0，－，)，＝(t，t－，－)， 设平面ECP的法向量为m＝(x2，y2，z2)， 则令y2＝，则x2＝，z2＝， 故m＝. 因为二面角E－PC－D＝，所以n·m＝×1＋×(－1)＋×＝0， 解得t＝.故＝，即当点E为AB靠近点B的四等分点时，二面角E－PC－D＝. 二 微观优化解题细节：提升五大能力，突破立体几何中的解题障碍点 能力(一)　提高识图、作图能力　 识图、作图能力是学好立体几何应具备的重要能力之一，学生的识图、作图能力弱主要集中在作图问题、球问题的直观呈现和转化、展折问题的图形分析等．要提高识图、作图能力，需要理解作图的原理，在此基础上，培养模型意识和动手能力． [例1]　已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为(　 ) A． B． C． D． [解题观摩] 由球的定义可知，球心O为SC的中点．如图，设△ABC的中心为M，则有OM⊥平面ABC，且OM＝ ＝，所以三棱锥的高h＝2OM＝.所以此三棱锥的体积为××12××＝.故选A． [反思领悟] 本题往往会因为对直径认识不足(球心O为SC的中点)，而纠结如何作图(球内接三棱锥S－ABC)，不懂得对问题进行转化(VS－ABC＝2VO－ABC)，只有正确理解才能把问题转化为求三棱锥O－ABC的体积，再结合球的定义即可解决．　　 [例2]　平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1