第3板块 大题专攻(二) “立体几何”中的综合问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(二)　“立体几何”中的综合问题 　翻折问题 [例1]　如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2. (1)若M是A1D的中点，求直线CM与平面A1BE所成角的大小； (2)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？请说明理由． 解题微“点” 切入点 (1)求CM与平面A1BE的夹角，若不易找角，想到建立空间直角坐标系，利用CM的方向向量与平面A1BE的法向量求角． (2)探索是否存在点P，可设存在点P的坐标，建立关于点P的方程 隐藏点 (1)图1折叠后，图2中DE⊥CD，DE⊥A1D． (2)设点P的坐标时，注意坐标中参数的范围． (3)直线与平面所成角的范围为 关键点 利用线面垂直关系创造建立空间直角坐标系的背景，准确写出各点的坐标 [解]　(1)由折叠的性质得CD⊥DE，A1D⊥DE. 又CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴DE⊥平面A1CD． 又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE. 又A1C⊥CD，CD∩DE＝D，DE⊂平面BCDE，CD⊂平面BCDE，∴A1C⊥平面BCDE. 由题易知，＝＝， 又AC＝6，∴AD＝4，CD＝2.以C为原点，DC，CB，CA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0,0)，D(－2,0,0)，A1(0，0,2)，E(－2,2,0)，B(0,3,0)，∴＝(0,3，－2)，＝(－2,2，－2)． 设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则∴取z＝，则x＝－1，y＝2， ∴n＝(－1,2，)． 又∵M(－1,0，)，∴＝(－1,0，)， ∴cos〈，n〉＝＝＝. ∴直线CM与平面A1BE所成角的大小为45°. (2)假设线段BC上存在点P满足条件，设P点坐标为(0，a,0)，a∈[0,3]， ∴＝(0，a，－2)，＝(2，a,0)． 设平面A1DP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则取y1＝6，则x1＝－3a，z1＝a，∴n1＝(－3a,6，a)． 若平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1·n＝0，∴3a＋12＋3a＝0，即6a＝－12，∴a＝－2. ∵0≤a≤3，∴a＝－2不合题意． ∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直． [思维建模] 解决空间角与翻折相结合的问题的关键 (1)盯住量，看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征； (2)会转化，根据需要解决的立体几何问题，确立转化目标； (3)得结论，对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、基本事实、公式等解决．　 [对点训练] 1．(2023·南京二模)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝2，AD＝DC＝，如图1.现将△ADC沿对角线AC折成直二面角P－AC－B，如图2，点M在线段BP上． (1)求证：AP⊥CM； (2)若点M到直线AC的距离为，求的值． 解：(1)证明：因为AC＝＝2，∠CAB＝∠ACD＝45°，所以BC2＝4＋8－2×2×2×＝4，故BC＝2，则∠ACB＝90°，即AC⊥CB． 又平面PAC⊥平面ACB，平面PAC∩平面ACB＝AC，CB⊥AC，CB⊂平面ACB，所以CB⊥平面PAC． AP⊂平面PAC，则CB⊥AP ，又AP⊥PC，PC∩CB＝C，PC，CB⊂平面PCB，所以AP⊥平面PCB． 又CM⊂平面PCB，则AP⊥CM. (2)设AC的中点为O，AB的中点为D，以OA，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(1,0,0)，C(－1,0,0)，P(0,0,1)，B(－1,2,0)． 设＝λ，则＝λ，设M(x，y，z)，则(x＋1，y－2，z)＝ λ(1，－2,1)，则M(λ－1,2－2λ，λ)，＝(2,0,0)，＝(λ，2－2λ，λ)． 因为点M到直线AC的距离为，所以CM2＝＋2，即λ2＋(2－2λ)2＋λ2＝＋2， 即25λ2－40λ＋16＝0，解得λ＝，所以＝. 　探索性问题 [例2]　(2023·济宁二模)如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF交CD于点G，其中DG＝2，DE＝DF. (1)证明：平面AEF⊥平面ABCD； (2)判断上底面圆周上是否存在点P，使得二面角P－EF－A的余弦值为.若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由． [解]　(1)证明：由题意可知，在下底面圆中，CD为直径． 因为DE＝DF，所以G为弦EF的中点，且EF⊥CD． 因为EF⊥AD，AD∩CD＝