第2板块 大题专攻(一) 数列求和及其综合应用（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(一)　数列求和及其综合应用 　等差、等比数列的判定与证明 [例1]　已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}与{bn}的通项公式． [解]　(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)． 又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列． 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. [思维建模] 判定或证明等差(等比)数列的方法：定义法，等差(比)中项法，通项公式法，前n项和法，证明数列是等差(比)数列一般使用定义法．　　 [对点训练] 1．已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①a2＝2a1；②数列{ln an}是等差数列；③数列{Sn＋a1}是等比数列． 证明：若选①②⇒③，设{ln an}的公差为d，则d＝ln a2－ln a1＝ln 2，所以ln an－ln an－1＝ln 2， 即＝2(n≥2)，故数列{an}是以2为公比的等比数列，所以Sn＝＝(2n－1)a1，所以Sn＋a1＝2n·a1.即{Sn＋a1}是等比数列． 若选①③⇒②，设{Sn＋a1}的公比为q，a2＝2a1，则q＝＝＝2. 又S1＋a1＝2a1，所以Sn＋a1＝2a1·2n－1＝a1·2n，所以Sn＝a1·2n－a1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a1·2n－1， n＝1时，a1＝a1适合上式， 故an＝a1·2n－1，ln an＋1－ln an＝ln 2，所以数列{ln an}是等差数列． 若选②③⇒①，因为数列{ln an}是等差数列，则ln an－ln an－1＝ln(n≥2)为常数，所以为常数． 设为q(q≠0)，所以an＝a1qn－1， 因为数列{Sn＋a1}是等比数列，则(S2＋a1)2＝(S1＋a1)(S3＋a1)，故[a1(2＋q)]2＝2a1·[a1(2＋q＋q2)]， 整理得q2－2q＝0，解得q＝2或q＝0(舍去)，所以a2＝2a1. 　数列求和 方法1　分组转化法 [例2]　(2023·枣庄二模)已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＋2an＝2n＋2. (1)证明：{an－2n}为等比数列； (2)已知bn＝Tn为{bn}的前n项和，求T10. [解]　(1)证明：由an＋1＋2an＝2n＋2，得an＋1－2n＋1＝2n＋1－2an＝－2(an－2n)． 又a1－21≠0，所以{an－2n}是以－2为公比，1为首项的等比数列． (2)由(1)，得an－2n＝(－2)n－1，即an＝2n＋(－2)n－1. 当n为奇数时，bn＝an＝2n＋(－2)n－1＝3×2n－1； 当n为偶数时，bn＝log2an＝log2[2n＋(－2)n－1]＝log22n－1＝n－1. 所以T10＝(b1＋b3＋b5＋b7＋b9)＋ (b2＋b4＋b6＋b8＋b10)＝(3＋3×22＋3×24＋3×26＋3×28)＋(1＋3＋5＋7＋9)＝＋＝1 048. [思维建模]　 分组转化法求和的常见类型 [提醒]　某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．　　　 [对点训练] 2．已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，a3＝5，a8＝15，b1＝a1，b4(a5－a1)＝a1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{an＋bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q， 由题意得d＝＝＝2，b4(a5－a1)＝a1⇒b4·4d＝b1，故q3＝＝，解得q＝. 又a1＝a3－2d＝5－4＝1，b1＝a1＝1， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝1×＝. 故数列{an}的通项公式为an＝2n－1，{bn}的通项公式为bn＝. (2)由(1)得an＋bn＝2n－1＋， 所以Tn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn) ＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn) ＝＋＝n2－＋2. 方法2　裂项相消法 [例3]　(2023·孝感模拟)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋an＝，n∈