第2板块 大题专攻(三) “数列”大题的思维建模（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(三)　“数列”大题的思维建模 一 宏观掌握解题通路：数列问题重在“归”——化归 等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列，在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落脚点．首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量，凡是涉及这两个数列的问题，我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的．这种化归为基本量处理的方法是解决等差或等比数列问题特有的方法．对于不是等差或等比的数列，可通过转化化归，转化为等差(比)数列问题或相关问题求解．由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决．　 [解题示范] [典例]　(2022·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋＜2. [应用体验] 1．(2023·长沙模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝·3n＋b(b为常数)． (1)求b的值和数列{an}的通项公式； (2)记cm为{an}在区间[－3m, 3m](m∈N*)中的项的个数，求数列{amcm}的前n项和Tn. 解：(1)由题设Sn＝·3n＋b，显然等比数列{an}的公比不为1， 设{an}的首项、公比分别为a1，q， 则Sn＝＝－， ∴b＝＝－且q＝3，a1＝3，故{an}的通项公式为an＝3n，n∈N*. (2)数列{an}在[－3m, 3m](m∈N*)中的项的个数为m，则cm＝m， ∴Tn＝1·31＋2·32＋…＋n·3n，则3Tn＝1·32＋2·33＋…＋n·3n＋1, 两式相减得－2Tn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝·3n＋1－. ∴Tn＝·3n＋1＋. 2．(2023·襄阳四中模拟)设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝5，且a＝4Sn＋4n＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)因为a＝4Sn＋4n＋1，所以4Sn＝a－4n－1①， 所以n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1②. 由①－②，得4an＝a－a－4， 即a＝(an＋2)2. 因为{an}各项均为正数，所以an＋1＝an＋2， 即an＋1－an＝2， 因为a3＝5，所以a＝4(a1＋a2)＋9，a＝4a1＋5，解得a2＝3，a1＝1，a2－a1＝2， 所以数列{an}是公差为2的等差数列， 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)得bn＝ ＝. 当n为偶数时，Tn＝－＋－＋－…＋＝＝－； 当n为奇数时，Tn＝－＋－＋－…－＝＝－. 所以Tn＝ 二 微观优化解题细节：求解数列问题的三大常用技巧 技巧(一)　整体利用数列的性质　 等差数列、等比数列的通项公式和求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上使用公式． [例1]　(1)在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，求a9＋a11＋a13＋a15的值； (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，求满足SkSk＋1<0的正整数k的值． [解题观摩] (1)设等比数列{an}的公比为q， 则a5＝a1q4，a7＝a3q4， 所以q4＝＝＝. 又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝8×2＝2， a13＋a15＝(a1＋a3)q12＝8×3＝1， 所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3. (2)依题意得a6＝S6－S5>0， a7＝S7－S6<0，a6＋a7＝S7－S5>0， 则S11＝＝11a6>0， S12＝＝>0， S13＝＝13a7<0， 所以S12S13<0，即满足SkSk＋1<0的正整数k＝12. 技巧(二)　数列求和中的裂项技巧　 在求和时一些正负相消，适用于类似这种形式，用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法，是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，高考中常见以下几种类型． (1)＝. (2)＝(－)． (3)＝. (4)＝. [例2]　已知等差数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}的前n项和，且{}也是等差数列． (1)求an； (2)设bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. [解题观摩] (1)设{an}的公差为d， 因为{}为等差数列，所以2＝＋，即2＝1＋，整理可得d＋4＝2，可得(d－2)2＝0，解得d＝2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)由(1)得Sn＝＝＝n2. 所以bn＝＝ ＝×⇨ ＝＋×， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋ ＝＋ ＝＋＝. 技巧(三)　构造数列　 1．用“待定系数法”构造等比数列 形如an＋1＝kan＋p(k，p为常数，kp≠0)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为an＋1＋m＝k