第2板块 大题专攻(二) 子数列问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(二)　子数列问题 子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列． 　数列的奇偶项 数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列． 数列中的奇、偶项问题的常见题型： (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型； (4)已知条件明确的奇、偶项问题． [例1]　已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝a4，a3＋a5＝2＋a4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前2k项和S2k； (3)在数列{an}中，是否存在连续的三项am，am＋1，am＋2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，请说明理由． 解题微“点” 切入点 (1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由已知条件列方程组求得d，q后可得通项公式； (2)按奇数项与偶数项分组求和； (3)按m分奇偶讨论，利用2am＋1＝am＋am＋2，寻找k的解 障碍点 解第三问时不会由等差中项印证，从而造成无从下手 [解]　(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则a1＝1，a2＝2，a3＝1＋d，a4＝2q，a5＝1＋2D． ∵S3＝a4，∴1＋2＋(1＋d)＝2q，即4＋d＝2q.　 ① 又a3＋a5＝2＋a4， ∴1＋d＋1＋2d＝2＋2q，即3d＝2q.　 ② 由①②解得d＝2，q＝3. ∴对于k∈N*，有a2k－1＝1＋(k－1)·2＝2k－1， 故an＝k∈N*. (2)S2k＝(a1＋a3＋…＋a2k－1)＋(a2＋a4＋…＋a2k)＝[1＋3＋…＋(2k－1)]＋2(1＋3＋32＋…＋3k－1)＝＋＝k2＋3k－1. (3)在数列{an}中，仅存在连续的三项a1，a2，a3按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1，下面说明理由：若am＝a2k，则由am＋am＋2＝2am＋1，得2×3k－1＋2×3k＝2(2k＋1)．化简得4·3k－1＝2k＋1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立．若am＝a2k－1，则由am＋am＋2＝2am＋1，得(2k－1)＋(2k＋1)＝2×2×3k－1，化简得k＝3k－1.令Tk＝(k∈N*)，则Tk＋1－Tk＝－＝<0.因此，1＝T1>T2>T3>…，故只有T1＝1，此时k＝1，m＝2×1－1＝1.综上，在数列{an}中，仅存在连续的三项a1，a2，a3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1. [思维建模] 1．奇偶两重天 (1)项的奇偶性：数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列划分成两个新的数列进行考查，很多同学对n为奇数时的情形产生混淆，往往会弄错新数列与原数列的项数； (2)项数的奇偶性：数列{an}中的任意一项an的角标不是奇数就是偶数． 2．处理策略 奇偶分离法，其本质其实就是分类讨论，只不过分类标准是项的奇偶性，按照奇数项与偶数项分而治之地进行操作．分类讨论的一层涵义是不能合而分，我们也不要忽视分类讨论的另一层涵义是能合而不分，能够站在整体视角看的就可以通过具体手段巧妙地避免分类讨论．　　 [对点训练] 1．(2023·山东校联考模拟预测)已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝ (1)求{a2n}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn>250，求n的最小值． 解：(1)由题意知当n≥2时，a2n＝a(2n－1)＋1＝a2n－1＋2＝a(2n－2)＋1＋2＝2a2n－2＋4. 设a2n＋t＝2(a2n－2＋t)，则a2n＝2a2n－2＋t， 所以t＝4，即a2n＋4＝2(a2n－2＋4)． 又a2＝a1＋2＝0，a2＋4＝4. 所以{a2n＋4}是首项为4，公比为2的等比数列． 所以a2n＋4＝4·2n－1＝2n＋1，即a2n＝2n＋1－4. (2)当n为偶数时，an＝an－1＋2，即an－1＝an－2. S2n＝a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n) ＝(21＋1－6＋21＋1－4)＋(22＋1－6＋22＋1－4)＋…＋(2n＋1－6＋2n＋1－4) ＝(21＋2－10)＋(22＋2－10)＋…＋(2n＋2－10)＝(23＋24＋…＋2n＋2)－10n＝－10n＝2n＋3－10n－8. 令S2n＝2n＋3－10n－8>250，解得n≥48.即S96>250，S94<250