第1板块 小题考法(三) 平面向量的运算及应用（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

小题考法(三)　平面向量的运算及应用 　平面向量的线性运算 1．(2023·广东统考)已知向量a＝(2,0)，b＝(－1，－2)，则a＋b＝(　 ) A．(1,2) B．(1，－2) C．(2,1) D．(－3,2) 解析：选B　由题意a＋b＝(2－1,0－2)＝(1，－2)，故选B． 2．在△ABC中，BD＝BC，点E是AD的中点，记＝a，＝b，则＝(　 ) A．－a＋b B．－a＋b C．－a－b D．a－b 解析： 选B　由题设＝(＋)＝＝＝－＋，所以＝－a＋B．故选B． 3．(2023·聊城一模)M是△ABC内的一点，若＝＋λ，＝＋μ，则λ＋μ＝(　 ) A． B．1 C． D． 解析：选D　由－＝，则＝＋μ－－λ，所以＝μ－λ，即＝6(μ－λ)＝ 6(μ＋λ)，又＝＋，故μ＝λ＝，故λ＋μ＝.故选D． 4．在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足＝＋m，则m＝(　 ) A．1 B． C． D． 解析：选B　在正六边形ABCDEF中，以A为原点，分别以AB，AE所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，不妨令AB＝1，则A(0,0)，C，D(1，)， M(t，)，＝，＝(1，)，＝(t，)，由＝＋m，可得 解得 [思维建模] 平面向量的线性运算技巧 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意向量共线定理的灵活运用． (2)运算过程中要重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．　　 　平面向量的数量积 [讲评提能] [例1]　点P是边长为2的正△ABC的边BC上一点，且＝，则·(＋)＝(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 [解析]　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴·(＋)＝(＋)＝2＋·＋2＝＋2×2×＋＝6.故选C． [答案]　C [例2]　(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　 ) A．－ B．－ 　C． D． [解析]　∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0. 又a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b，b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b，∴(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且|a－c|＝|2a＋b|＝＝＝，|b－c|＝|a＋2b|＝＝＝，∴cos〈a－c，b－c〉＝＝，故选D． [答案]　D [思维建模]　数量积问题的解题方法 借“底”数字化 要先选取一组合适的基底(一般用已知的向量表示未知的向量)，建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知向量的方程进行求解 借“系”坐标化 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得以解决 [过关训练] 1．(2023·济南一模)(多选)已知平面向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，则(　 ) A．|a|＝ B．(2a－b)⊥b C．a与b的夹角为钝角 D．a在b上的投影向量的模为 解析：选AD　A选项，|a|＝＝，A正确；B选项，2a－b＝(2,6)－(－2,1)＝(4,5)，故(2a－b)·b＝(4,5)·(－2,1)＝－8＋5＝－3≠0，故2a－b与b不垂直，B错误；C选项，cos〈a，b〉＝＝＝＝>0，故a与b的夹角为锐角，C错误；D选项，a在b上的投影向量的模为＝＝，D正确．故选A、D． 2.(多选)如图，AB是圆O(O为圆心)的一条弦，由下列一个条件能确定·值的有(　 ) A．已知圆的半径长 B．已知弦长|AB| C．已知∠OAB大小 D．已知圆的半径长和∠OAB大小 解析：选BD　由·＝||||cos∠OAB＝||·||＝||2，若已知弦长|AB|，则可求解·；若已知圆的半径长R和∠OAB大小，则可求得||＝2Rcos∠OAB，从而可求解·. 3．(2023·聊城二模)在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，·＝－6，则cos∠BAD等于(　 ) A．－ B．－ C． D． 解析：选D　依题意作图如图所示，＝－，＝＋＝＋，·＝(－)·＝2－·－2＝4－4cos∠BAD－8＝－6，∴cos∠BAD＝，故选D． 　平面向量中的最值、范围问题 [讲评提能] [例3]　(2023·厦门模拟)(多选)正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，＝λ＋μ，则(　 ) A．λ的最大值为 B．μ的最大值为1 C．·的最大值是2 D．·的最大值是＋2 [解析]　如图，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，A(－1，0)，D(－1,2)，E(1,1)，设∠BOP＝α，则P(cos α，sin α)