第1板块 小题考法(二) 三角恒等变换与解三角形（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

小题考法(二)　三角恒等变换与解三角形 　三角恒等变换 1．若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A　因为tan 2α＝＝，所以cos α－＝2(2－sin α)，即＝，所以sin α＝.又α∈，所以cos α＝，所以tan α＝.故选A． 2．(2023·佛山一模)已知sin α＝，α为钝角，tan(α－β)＝，则tan β＝(　 ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选B　因为sin α＝，所以cos α＝±＝±.因为α为钝角，所以cos α＝－，则tan α＝＝－.所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝－1.故选B． 3．若＝－，则sin(α－2β)＝(　 ) A．－ B．0 C． D．1 解析：选B　因为＝－，所以＝－＝＝，即＝，则2sin(α－β)cos β＝sin α，所以2sin(α－β)cos β＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β，则sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝0，即sin[(α－β)－β]＝sin(α－2β)＝0. 4．(2023·泰安二模)已知sin α＋cos α＝，则sin＝________. 解析：因为sin α＋cos α＝，故可得sin＝，则sin＝sin＝sin＝－cos 2＝2sin2－1＝2×2－1＝－. 答案：－ [思维建模] 三角恒等变换“4大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．　 　正、余弦定理 [讲评提能] [例1]　(2023·沈阳模拟)(多选)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知bsin A＝(3b－c)sin B，且cos A＝，则下列结论正确的是(　 ) A．a＋c＝3b B．tan A＝2 C．△ABC的周长为4c D．△ABC的面积为a2 [解析]　由正弦定理得ba＝(3b－c)b，整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，A正确；由cos A＝可得sin A＝＝，则tan A＝＝2，B正确；由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A．又a ＝3b－c，可得(3b－c)2＝b2＋c2－2bc·，整理得3b＝2c，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b＝c，C错误；由上知a ＝3b－c,3b＝2c，可得a＝c，b＝a，则△ABC的面积为bcsin A＝·a·a·＝a2，D正确．故选A、B、D． [答案]　ABD [例2]　(教考衔接：人教A版必修② P53T12改编)如图，在△ABC中，∠B＝，D为BC边上的点，E为AD上的点，且AE＝8，AC＝4，∠CED＝，则CE＝________；若CD＝5，则cos∠DAB＝________. 解题微“点” 切入点 把CE放在△ACE中求解，求cos∠DAB，首先想到在△ABD中求解，但没有需要的条件，故只能从角的关系入手 障碍点 求cos∠DAB时，找不到头绪，想不到它与∠CDE的关系 易错点 不能正确判断cos∠CDE的符号而致误 [解析]　由题意可得∠AEC＝π－＝， 在△AEC中，由余弦定理得AC2＝AE2＋CE2－2AE·CE·cos∠AEC，即160＝64＋CE2＋8CE， 整理得CE2＋8CE－96＝0， 解得CE＝4(负值舍去)． 因为CD＝5， 所以在△CDE中，由正弦定理得 ＝， 即＝，所以sin∠CDE＝. 因为点D在BC边上， 所以∠CDE>∠B＝，而<， 所以∠CDE只能为钝角， 所以cos∠CDE＝－， 所以cos∠DAB＝cos ＝cos∠CDEcos＋sin∠CDEsin ＝－×＋×＝. [答案]　4　 [思维建模] 正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． [提醒]　应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．　　 [过关训练] 1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于(　 ) A． B． C． D． 解析：选D　∵sin C＝2sin B，∴c＝2b，结合a2－b2＝bc即可求得a＝B．由余弦定理可得cos A＝＝＝.又∵A∈(0，π)，∴A＝.故选D． 2．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin＝(c－2a)cos(π－B)，b＝