第1板块 特别指导 三角函数中与ω有关的题型例析（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

特别指导—三角函数中与ω有关的题型例析 根据三角函数的相关性质求解参数的值或取值范围是三角函数中比较典型的一类问题，能有效考查学生对三角函数基本性质的掌握程度，难度可控，备受高考命题者的青睐，因此频频出现在高考试题中．这类问题一般涉及值域、单调性及周期性等性质，三角函数因为其函数性质的特殊性，如正弦函数和余弦函数的有界性，往往在确定变量范围，或者最大、最小值有关问题上起着特殊作用．如果试题本身对自变量的取值范围问题有限制，则更应该充分注意． 题型(一)　ω的取值范围与单调性相结合 如果解析式中含有参数，要求根据函数单调性求参数的取值范围，通常先求出单调区间，然后利用集合间的关系求解；或转化为使得某个等式或不等式恒(可以)成立，通过分离参数，求出解析式的范围或最值，进而求出参数的范围． [例1]　已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　 ) A． B． C． D．(0,2] [解题观摩]　由＋2kπ<ωx＋<＋2kπ(k∈Z)，得＋<x<＋(k∈Z，ω>0)． 因为函数f(x)在上单调递减， 所以⊆， 即解得k∈Z. 因为所以0<ω≤2， 当k＝0时，≤ω≤，故选A． [反思领悟] 若由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区间)求解ω或φ的取值范围，则将区间端点值代入后，去对应(k∈Z)或(k∈Z)列出不等式求解．另外，因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的单调递减(增)区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω的范围．　　 题型(二)　ω的取值范围与对称性相结合 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心为(k∈Z)，对称轴为x＝－＋＋(k∈Z)，此时函数的对称中心和对称轴可用参数ω表示，对称中心和对称轴的取值与参数ω有着紧密的联系． [例2]　将函数y＝2sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则ω的最小值为(　 ) A．2 B．1 C． D． [解题观摩]　将函数y＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的解析式为y＝2sin＝2sin.因为函数y＝2sin的图象关于y轴对称，所以－ω＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝－.因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值1，故选B． [反思领悟] 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值．　　 题型(三)　ω的取值范围与三角函数的最值相结合 [例3]　已知函数f(x)＝2sin ωxcos2－sin2ωx(ω＞0)在区间上单调递增，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　 ) A． B． C． D． [解题观摩]　f(x)＝2sin ωx·cos2－sin2ωx＝sin ωx－sin2ωx＝sin ωx，因为f(x)在上单调递增，ω＞0，所以－ω≤ωx≤ω.所以－ω≥－，ω≤.所以0＜ω≤.当ωx＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值，而f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以解得≤ω＜.综上，≤ω≤. [反思领悟] 利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．　　 题型(四) [例4]　(2023·常德一模)将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为(　 ) A． B． C． D． [解题观摩]　由题意得，g(x)＝2sin＝2sin，又函数y＝g(x)的一个极值点是，即x＝是函数g(x)的一条对称轴，所以＋＋＝＋kπ(k∈Z)，则ω＝＋2k(k∈Z)．函数 g(x)在上单调递增，则函数g(x)的周期T＝≥2，结合解得0<ω≤2，则k＝0，ω＝，故选A． [反思领悟] 解决此类问题，要先根据所给的单调区间判断ω的大致范围，再计算对称轴，依据函数在所给区间的极值点及对称轴缩小范围，从而求出ω的范围．　　 [应用体验] 1．若仅存在一个实数t∈，使得曲线C：y＝sin(ω>0)关于直线x＝t对称，则ω的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 解析：选D　∵t∈，∴ωt－∈.∴<－≤.∴<ω≤. 2．已知函数f(x)＝cos ωx(ω>0)在区间上是单调函数，且f(x)的图象关于点M对称，则ω＝(　 ) A．或 B．或2 C．或2 D．或 解析：选B　因为f(x)＝cos ωx(ω>0)在区间上是单调函数，则由x∈，可得ωx∈