第1板块 大题专攻(一) “解三角形”大题的考法研究（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(一)　“解三角形”大题的考法研究 　利用正、余弦定理求边或角 [例1]　(2023·威海一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝－1. (1)求B； (2)若a＝3，b＝3，求△ABC的面积． [解]　(1)由＝－1，得＋1＝，即＝， 所以＝＝＝， 由正弦定理得＝＝， 因为0<C<π，sin C≠0，所以cos B＝. 因为0<B<π，所以B＝. (2)在△ABC中，因为B＝，a＝3，b＝3，由余弦定理，得63＝c2＋9－6ccos， 即c2－3c－54＝0，解得c＝9或c＝－6(舍去)． 所以S△ABC＝acsin B＝×3×9×sin＝，即△ABC的面积为. [思维建模] 应用正、余弦定理解题的技巧 (1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解． (3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解． (4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．　　 [对点训练] 1．(2023·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)，n＝，且m⊥n. (1)求A； (2)若c＝3，△ABC的面积为，求a． 解：(1)由n＝得n＝(sin B，－cos A)．又m⊥n，所以asin B－ bcos A＝0. 由正弦定理得sin Asin B－sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，所以sin A－cos A＝0，即tan A＝.又A为△ABC的内角，所以A＝. (2)由S△ABC＝bcsin A得＝b×3×，解得b＝2. 又根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋32－2×2×3×＝7，所以a＝. 2．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：(1)因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.因为2sin(A－C)＝sin B， 所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， 所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin Acos C＝3cos Asin C， 所以sin A＝3cos A．由sin2A＋cos2A＝1， 得sin A＝. (2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角，所以cos A＝， 所以sin B＝sin＝(cos A＋sin A)＝×＝， 由正弦定理＝， 得AC＝＝＝2， 故AB边上的高为AC×sin A＝2×＝6. 　与解三角形有关的最值、范围问题 [例2]　(2023·菏泽二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R＝2，且tan B＋tan C＝. (1)求B和b的值； (2)求AC边上高的最大值． 解题微“点” 切入点 (1)切化弦，逆用和角的正弦求出B，利用正弦定理求出B． (2)求ac的最大值，借助三角形面积求出AC边上高的最大值 障碍点 求AC边上高的最大值时不能将其转化为求△ABC面积的最大值 [解]　(1)由tan B＋tan C＝，得＋＝，即sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Acos B， 因此sin(B＋C)＝sin Acos B，在△ABC中，sin(π－A)＝sin Acos B，即sin A＝sin Acos B， 而0<A<π，即sin A>0，于是cos B＝.又0<B<π，解得B＝. 因为△ABC的外接圆半径R＝2，由正弦定理得b＝2Rsin B＝4×＝4， 所以B＝，b＝4. (2)由(1)知，B＝，b＝4，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得16＝a2＋c2－2accos≥(2－)ac， 于是ac≤＝8(2＋)，当且仅当a＝c时取等号，令△ABC的边AC上的高为h， 则由bh＝S△ABC＝acsin B，得h＝ac＝ac＝ac≤×8(2＋)＝2＋2. 所以AC边上高的最大值是2＋2. [思维建模] 运用正、余弦定理求与三角形有关量的最值、取值范围问题，一般用正弦定理将所求的量转化为关于某一个角的三角函数，求该三角函数的最值与取值范围，或转化为关于边的等式、函数、不等式，再用基本不等式或函数的单调性等来处理．　 [对点训练] 3．(2023·德州一模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－2bcos A＝b． (1)求证：A＝2B； (2)若A的角平分线交BC于点D，且c＝2，求