第3板块 大题专攻(一) “立体几何”中的空间角与距离问题-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

高考专题辅导与测试·数学 大题专攻（一）“立体几何”中的空间角与距离问题 题型一 直线与平面所成的角 考法精研和 [例1](2022·全四乙卷) 2.用几何法破解此类线面所成角问题的关键 如图，四面体ABCD中，AD⊥ 把线面所成角问题转化为求点面距离d与 CD,AD=CD,∠ADB= 会转化 斜线段长m的间题 ∠BDC,E为AC的中点. 求距离常利用等体积法、等面积法等，求d (1)证明：平面BED⊥平面ACD: 用公式 (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在 线面所成角购正弦值为号 BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面 [对点训练] ABD所成的角的正弦值. 1.(2023·豫州三模)如图，三棱 姚范解通： 锥PABC的底面为等腰直 角三角形，∠ABC=90°，AB =2.D,E分别为AC,BC的 中点，PD⊥平面ABC,点M在线段PE上， (1)再从条件①、②、③、④中选择两个作为已 知，使得平面MBD⊥平面PBC,并给予证明： (2)在(1)的条件下，求直线BP与平面MBD所 成的角的正弦值。 条件①：PD=√2：条件②：∠PED=60°；条件 ③：PM=3ME:条件④：PE=3ME. [思维建模] 1.用向量法破解此类线面所成角问题的关键 利用平行或垂直的判定定理，明确写出所 用定理 证明的推理过程，注意推理的严谨性 找出（或作出）两两垂直的三条直线，建立 建系 适当的空间直角坐标系 先分别求出几何体相关点的坐标，利用“终 求向量 减起”，求出直线的方向向量，利用赋值法 求出平面的法向量等 用公式求两法向量的夹角的余弦值 得结论 根据向量夹角与线面角的关系，将向量夹 角转化为所求的空间线面角 52 第三板块立体几何 题型三平面与平面所成的角 考法精研 [例2](2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥 [思维建模] ABCD中，DA=DB=DC. 利用空间向量求二面角的方法 BD⊥CD,∠ADB=∠ADC (1)几何法：如图①，AB,CD是二面角al3的两个 =60°，E为BC的中点. 面内与棱！垂直的直线，则二面角的大小0 (1)证明：BC⊥DA: (AB.CD). (2)点F满足EF=DA, a B 求二面角DABF的正弦值. 魏范解惠： ① ② ③ (2)向量法：如图②③，n1,n2分别是二面角rl-3的 两个半平面a,B的法向量，则二面角的大小 满足|cos0川=|cos(n1,n2)l,二面角的平面角大 小是向量n1与2的夹角（或其补角）.结合立体 图形中二面角的实际情况，判新二面角的平面角 是钝角还是锐角. [提醒]如果题干要求平面α与平面3的夹角， 注意平面a与平面B的夹角的定义“平面a与平面孕 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不 大于90的二面角称为平面：与平面3的夹角”， 也就是说平面与平面的夹角的取值范国是[0，受] [对点训练] 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长 为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD,PM=MD. (1)求证：BP∥平面ACM: (2)求平面MBC与平面DBC 夹角的余弦值。 53 高考专题辅导与测试·数学 题型三 空间距离 圆考法精研 [例3]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D [思维建模]求点面距离的3种方法 中，AB=4,AD=AA1=2,E 如图，设n是平面a的法向量， 是A1D1的中点，平面ACE与 AB是平面a的一条斜线，其中 棱CD1相交于点F 法向量 A∈a,则点B到平面a的距离 (1)求证：点F为C1D 为AB.n 的中点： n (2)若点G为棱AB上一点，且DG⊥AC,求 立体几何中求点到平面距离的一种常用方法， 体 点G到平面ACE的距离. 掌握这种方法的关键是找准两个底面并求出其 规范解瓶： 法 面积 找到点到平面的距离，有时可转化为过已知点 何 A且与相关平面平行的直线上的其他点到平面 的距离 [对点训练] 3.如图，在三棱柱ABCA1BC 中，AB⊥平面BBC1C,AB= BB1=2BC=2,BC1=√3，点E 为A1C的中点 (1)求证：CB⊥平面ABC: (2)求点A到平面BCE的距离. 作业评价：请完成配套卷P177“专题跟踪检测（十一）” |54)[应用体验] [应用体验] 法二：国为E为AC的中点，所以点C到平面 3.选D如图，在矩形 4.选ACD :图，连 ABD的距高等于点E到平面ABD的距离 ABCD中，连接对角线 接AD,BC,当E 的2倍. AC.BD,记AC∩BD 在枚DC上运动时， 因为DE1⊥AC,DE⊥BE,AC∩BE=E,AC =F,则点F为矩形 BE始终在平面 BEC平面ABC,所以DE平面ABC ABCD的外提图圆心， A'B'CD中，周为 周为