第3板块 大题专攻(三) “立体几何”大题的思维建模-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

高考专题辅导与测试·数学 大题专攻（三）“立体几何”大题的思维建模 宏观掌握解题通路：立体几何问题重在“建” 建模、建系 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结 立体几何解答题 平行模型 合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类 垂直模型 题日的原则是建模、建系， 建模 平面化模型 建模—将问题转化为平行模型、垂直模型、平面 角度计算模型 建 距离计算模型 化模型及角度、距离等的计算模型，有时也需建立函数 空间向量 模型： 空间直角坐标系 公式处理 建系—依托于题中的垂直条件，建立空间直角 建系 局部图形建平面 平面化 坐标系，利用空间向量求解. 直角坐标系 处理 [解题示范] [典例](2021·新课标I卷)如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD⊥平面 BCD,AB=AD,O为BD的中点. (1)证明：OA⊥CD. (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面 角EBC-D的大小为45°，求三棱锥ABCD的体积. [关键步骤] [解题样板] [微点提醒] ①建模：证明线线垂直的 (1)证明：因为AB=AD,O为BD的中点，所以OA⊥BD. 模型：线⊥面→线⊥线 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, 》此处易忽视条件“平面 所以OA⊥平面BCD. ABD∩平面BCD= 因为CDC平面BCD, BD”,造成步骤缺失而 所以OA⊥CD.① 失分， (2)以O为坐标原点，OD,OA所在 ②建系：将二面角问题转 的直线分别为y轴、：轴，过点O 化为空间向量的计算问题 且垂直于BD的直线为x轴，建立如图所示的空间直 角坐标系.② 设0A=:尉000.0.B0,-10.C停号0小 此处易求错，点的坐标 而导致后续向量的坐 A(0,0,t),D(0,1,0) 标出错，从而导致最终 ③设关键量：设出OA的 所以AB=0,-1,-0.-(停20小A0=01,- 长度，求出相关点和向量 结果出错. 的坐标 A正=}=(0，-)E=A正-A=(,号号)0 易知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1).④ 》此处易忽视(0,0,1)为 设平而BCE的法向量为m=(x,y,), 底面BCD的法向量， ④求法向量：求出平面 m·BC=0, 2r3 如果按照法向量的一 y=0, 则 即 般求法求解，会浪费较 BCD和平而BCE的一 m·BE=0, 4. 多时间 个法向量， 3=0. |58 第三板块立体几何 不妨取x=,则y=-1=,即m=(8,-1,号)0此处注意法向量求解 因为二面角EBC-D的大小为45°， 的准确性，此处极易求 2 解错误 所以cos(n,m〉 n·m mm 2 4 4+ ⑥计算：根据二面角的大 小求1的值，从而得到三 解得1=1（负值已含去）.⑤ 校雏ABCD的高可求 由OB=OC=OD=1,得BC⊥CD,所以BC=√3， 其体积 所以三枚维4BCD的体积为号×号X1X,5X1= 2 6 [关键点拨] [应用体验] 1.利用法向量求解空间角的关键在于“四破” (2023·哈尔滨模拟)如图，在四棱锥P-ABCD 破“建系关” 构建恰当的空间直角坐标系 中，底面ABCD是边长为2的 正方形，O为ABCD的中心，其 破“求方向向量关” 首先准确求解相关点的坐标 他四个侧面都是侧棱长为√5的 破“求法向量关” 求出平面的法向量 等腰三角形 破“应用公式关” 熟记求角公式，即可求出角 (1)求证：PO⊥平面ABCD: 2.解答立体几何问题，应具备以下5点思维 (2)在线段AB上是否存在一点E,使二面角 (1)由于空间图形问题往往可转化为平面图形问题 EPCD=?若存在，请指出点E的位置并证 加以解决，因此要注意平面几何知识在解题中的 明：若不存在，请说明理由。 灵活运用.例如，证线线平行可以利用三角形、梯！ 形的中位线性质定理，还可以利用比例关系：证线 线垂直可以利用菱形、正方形的对角线互相垂直， 还可以利用勾股定理的逆定理。 (2)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，由于 大多数问题主要考查的是有关判定定理在证题 中的灵活运用，所以我们要优先考虑对应的判 定定理去寻找证题思路， (3)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，若对： 应的判定定理不便于运用，则应该及时考虑其 他的证题思路.例如，要证线面平行，可以先证面 面平行，再利用面面平行的性质：要证明线面垂 直，可以先证面面垂直，再利用面面垂直的性质. (4)分析、解决有关立体几何问题时，往往需要考 虑数形结合思想、分类与整合思想、转化思想在 解题中的灵活应用。 (5)由于立体几何解答题侧重考查空间向量法在： 解题中的灵活运用，所以必须熟练掌握利用空 间向量法求解空间角的具体过程 铺59 高考专题辅导与测试·数学 二