第2板块 大题专攻(三) “数列”大题的思维建模-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

第二板块数列 大题专攻（三）“数列”大题的思维建模 一宏观掌握解题通路：数列问题重在“归” 化归 等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本 数列，在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落 数列解答题 错位相减法 脚点.首项与公差（比）称为等差（比）数列的基本量， 倒序相加法 凡是涉及这两个数列的问题，我们总希望把已知条件 基本址 裂项相消法 和 化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到 分组求和法 解决问题的目的，这种化归为基本量处理的方法是解 化 等差（比）数列 决等差或等比数列问题特有的方法，对于不是等差或 归 公式法 等比的数列，可通过转化化归，转化为等差（比）数列 崇加法 问题或相关问题求解.由于数列是一种特殊的函 基本方法 求 数，也可根据题目特点，将数列问题化归为函数问 累乘法 项 题来解决。 待定系数法 [解题示范 [典例] (2022·新课标I卷)记S,为数列{an}的前n项和，已知a1=1, 是公差为的等差数列， (1)求{a,}的通项公式：(2)证明： 1+1+…+1<2. 4142 [关键步骤] [解题样板] [微点提醒] ①化归：用公式—利 1)ra,=1s,=a=13=1. a 用等差数列的通项公式。 得到a与S。的关系式. 又“⑧}是公差为号的等差数列， la. S1+3(m-1D=+2 a. 2，-s二《n2a.① 3 .当n≥2时， ●注意对≥2的限定以 m十1)a, S.-1= 及后面对n=1时的情 3 况的验证，否则解答过 ②化归：求通项—根 .an=S。-S.1 (n+2)a_(n+1Da., 程是不严谨的， 据a。与S。的关系，化归 3 3 为数列中相邻两项的关 整理得(n-1)a.=(m十1)a。-1,② 系，从而利用累乘法求出 a,i…a,=a,×g×g×…x×a 即4。。十1 aa: d- aw-1 数列(a,}的通项公式. =1×3×号×…×”。×+1_n(n+D 1◆2 n一2n-12 ◆注意釣分后所剩的项 ③化归：求和一利用 显然对于n=1也成立{a,}的道项公式4，=mn 有哪些，前面剩下的是 2 分母最小的两项，那么 裂项法，起1化为两项， (2)证明：= 后面就剩下分子最大 的两项， 以便相消求和 1+L+…+1 0证明不等式：根据求和 =2[(1-)+(合3)++（分门=2- ◆注意消项后所剩的项 的结果及其中品>0证 2 有哪些，不耍漏掉某 1>02n1<2.0 些项 明不等式 即1+1+…+1<2. a d2 37 高考专题辅导与测试·数学 [应用体验] :2.(2023·哀阳四中模拟)设正项数列{4n}的前n项 1.(2023·长沙模拟)已知等比数列(am}的前n项和 和为Sn,已知ag=5,且a+1=4Sn十4n十1. 为S,-2·3+66为常数 (1)求{an}的通项公式： (1)求b的值和数列{an}的通项公式： (2)若，=一1)”·2m,求数列(b,}的前n项 anantI (2)记cm为{an}在区间[一3m,3"](m∈N·)中 和T 的项的个数，求数列{amcm}的前n项和T ; 二微观优化解题细节：求解数列问题的三大常用技巧 技巧（一）整体利用数列的性质 等差数列、等比数列的通项公式和求和公式 又a,+an=a,g+a,g=8x(侵）广=2. 中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从： am+au=a,+a,g=8×(侵）广=l. 整体上使用公式。 所以a,+a1十an十as=2+1=3. [例1](1)在等比数列{an}中，已知a1十a3 (2)依题意得a=S,-S,>0, =8,a5十a7=4,求ag十a11十a13十a1s的值； a=S,-S<0,a6+a=5,-S>0, (2)设等差数列{an}的前n项和为S,若S >S7>S5,求满足SS+1<0的正整数k的值. 期s=1ata=11a,>0. 2 [解题观摩] su-12a,+a_12a,+a0. (1)设等比数列{a,}的公比为q, 2 2 则a1=a:ga,=d:g 5n=13a,+a2=13a,<0. 所以g-a:十a=4.1 2 a1十a18z 所以S2S:<0,即满足S,S+1<0的正整数表=12. 38 第二板块数列 技巧（二）数列求和中的裂项技巧 技巧（三）构造数列 在求和时一些正负相消，适用于类似{，C} 这 1.用“待定系数法”构造等比数列 a an+1 形如an+1=kan十p(k,p为常效，kp≠0)的数 种形式，用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的 列，可用“待定系数法”将原等式变形为aw+1十 裂项方法，是分解与组合思想在数列求和中的具 m=(an十m),由此构造出新的等比数列. 体应用，高考中常见以下几种类型. 2.用“同除法”构造等差数列 (