第7板块 第2讲 选修4－5 不等式选讲（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

第2讲　选修4－5　不等式选讲 　解绝对值不等式 角度1　绝对值不等式的解法 [例1]　(2023·全国甲卷)设a>0，函数f(x)＝2|x－a|－a. (1)求不等式f(x)<x的解集； (2)若曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积为2，求a. [解]　法一：(1)求不等式f(x)<x的解集，即求不等式2|x－a|－a<x的解集， 整理得2|x－a|<x＋a， 不等式两边同时平方，得4(x2－2ax＋a2)<x2＋2ax＋a2，整理得3x2－10ax＋3a2<0， 因式分解得(3x－a)(x－3a)<0，因为a>0，所以可得<x<3a， 故不等式的解集为. (2)设曲线y＝f(x)与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，x1>x2. 令f(x)＝0，得2|x－a|＝a，即2x－2a＝a或2x－2a＝－a， 得x1＝，x2＝，故曲线y＝f(x)与x轴的两个交点之间的距离d＝|x1－x2|＝a， 易得三角形不在x轴上的顶点坐标为(a，－a)， 所以三角形的面积S＝d·|－a|＝a2＝2， 即a2＝4，解得a＝2或a＝－2(舍去)，故a＝2. 法二：(1)若x≤a，则f(x)＝2a－2x－a<x， 即3x>a，解得x>，得<x≤a； 若x>a，则f(x)＝2x－2a－a<x， 解得x<3a，得a<x<3a. 综上，不等式的解集为. (2)f(x)＝ 作出f(x)的大致图象如图，曲线y＝f(x)与x轴围成的图形即△ABC， 易得A，B， C(a，－a)，所以|AB|＝a，△ABC的底边AB上的高为a， 所以S△ABC＝|AB|·a＝a2＝2，解得a＝2或a＝－2(舍去)， 故a＝2. 角度2　绝对值不等式的恒成立问题 [例2]　已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋a|＋|a－1|的最小值为2，g(x)＝k|x|(a，k∈R)． (1)求a的取值范围； (2)若f(x)≥g(x)，求k的最大值． [解]　(1)∵|x－1|＋|x＋a|≥|(x－1)－(x＋a)|＝|a＋1|，∴f(x)min＝|a＋1|＋|a－1|， 即|a＋1|＋|a－1|＝2， 又|a＋1|＋|a－1|≥|(a＋1)－(a－1)|＝2，当且仅当－1≤a≤1时，取等号， 故a的取值范围是[－1,1]． (2)由(1)得f(x)＝|x－1|＋|x＋a|＋1－a， 当x>1时，f(x)＝x－1＋x＋a＋1－a＝2x， 当－a≤x≤1时，f(x)＝1－x＋x＋a＋1－a＝2， 当x<－a时，f(x)＝1－x－x－a＋1－a＝－2x＋2(1－a)， ∴f(x)在(－∞，－a)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， f(x)，g(x)的图象如图所示， 故k≤2，即k的最大值为2. [提分技巧]　解绝对值不等式的常用方法 公式法 对于形如|f(x)|＞g(x)或|f(x)|＜g(x)，利用公式|x|＜a⇔－a＜x＜a(a＞0)和|x|＞a⇔x＞a或x＜－a(a＞0)直接求解不等式 平方法 对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|⇔f2(x)≥g2(x) 零点分段法 对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解 几何法 对于形如|x±a|±|x±b|≤c，|x±a|±|x±b|≥c，利用绝对值三角不等式的性质求解 图象法 对于形如|f(x)|＋|g(x)|≥a可构造y＝|f(x)|＋|g(x)|－a或y＝|f(x)|＋|g(x)|与y＝a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数 [对点训练] 1．设函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|. (1)求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的取值范围； (2)若集合{x|f(x)＋ax－1>0}＝R，求实数a的取值范围． 解：(1)因为|x－2|＋|x＋1|≥|(x－2)－(x＋1)|＝3，当且仅当(x－2)(x＋1)≤0，即－1≤x≤2时，上式等号成立， 故函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|的最小值为3， 且f(x)取得最小值时x的取值范围是[－1,2]． (2)因为{x|f(x)＋ax－1>0}＝R，所以∀x∈R，f(x)>－ax＋1. 由函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|＝ 令g(x)＝－ax＋1，其图象为过点P(0,1)，斜率为－a的一条直线． 如图所示， 点A(2,3)，B(－1,3)， 则直线PA的斜率为k1＝1， 直线PB的斜率为k2＝－2， 因为f(x)>g(x)，所以－2<－a<1，即－1<a<2， 所以a的取值范围为(－1,2)． 2．