第6板块 小题考法(三) 利用导数研究函数的性质（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(三)　利用导数研究函数的性质 　导数的几何意义 [讲评提能] [例1]　(1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　 ) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ (2)(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________________________________________________________． [解析]　(1)由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝y′|x＝1＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋，故选C. (2)因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． [答案]　(1)C　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞) [提分技巧] (1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标． (2)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同． [过关训练] 1．函数f(x)＝x3－x2＋2x－1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为(　 ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析：选D　f′(x)＝3x2－2x＋2，故f′(1)＝3，又f(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝3(x－1)＋1＝3x－2.令x＝0，则y＝－2，故切线的纵截距为－2.故选D. 2．曲线y＝ex－ax在x＝0处的切线与曲线y＝－x2只有一个交点，则a＝_________. 解析：对于函数y＝ex－ax，当x＝0时，y＝1.又y′＝ex－a，所以y′|x＝0＝e0－a＝1－a. 所以切线方程为y＝(1－a)x＋1. 又y＝(1－a)x＋1与曲线y＝－x2只有一个交点， 由消去y整理得x2＋(1－a)x＋1＝0， 所以关于x的方程x2＋(1－a)x＋1＝0有两个相等的实数根，即Δ＝(1－a)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3. 答案：－1或3 　利用导数研究函数的单调性 [讲评提能] [例2]　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为(　 ) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 (2)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　 ) A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a [解析]　(1)依题意，f′(x)＝aex－≥0在(1,2)恒成立，显然a＞0，所以xex≥.设g(x)＝xex，x∈(1,2)，则g′(x)＝(x＋1)ex＞0.所以g(x)在(1,2)单调递增，g(x)＞g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝e－1，故选C. (2)∵9m＝10，∴m∈(1,2)．令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝mxm－1－1.∵x>1且1<m<2，∴xm－1>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，又a＝f(10)，b＝f(8)，∴f(8)<f(9)<f(10)，即b<0<a. [答案]　(1)C　(2)A [提分技巧] 1．利用函数的单调性求参数的取值范围的思路 (1)由函数在区间[a，b]上单调递增(或递减)可知f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立； (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； (3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别处有f′(x)＝0，则参数可取这个值． 2．利用导数解不等式或比较大小的思路 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，再由单调性比较大小或解不等式问题． [过关训练] 3．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)且f(3)＝0，则不等式f(x)<0的解集为(　 ) A．(0,2) B．(0,3) C．(2,3) D．(3，＋∞) 解析：选B　令φ(x)＝xf(x)，则φ′(x)＝xf′(x)＋f