第6板块 大题专攻(一) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题 　利用导数研究函数的单调性 [例1]　(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． (2)若函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝ln(1＋x)，f′(x)＝－ln(1＋x)＋·， 所以f′(1)＝－ln 2. 又f(1)＝0，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－(x－1)ln 2，即xln 2＋y－ln 2＝0. (2)由题意得f′(x)＝－ln(1＋x)＋·≥0(x>0)， 即≥0(x>0)． 因为x2(1＋x)>0， 所以只需满足ax2＋x－(1＋x)ln(1＋x)≥0(x>0)． 设g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln(1＋x)， 则g′(x)＝2ax＋1－ln(1＋x)－1＝2ax－ln(1＋x)． 若a≤0，则g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 于是在(0，＋∞)上g(x)<g(0)＝0，不满足题意． 若a>0，设h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2a－，h′(0)＝2a－1. ①若0<a<，则h′(0)＝2a－1<0，令h′(x)＝0，得x＝－1，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当0<x<－1时，h′(x)<0，当x>－1时，h′(x)>0， 所以h(x)即g′(x)在上单调递减，在上单调递增，于是当0<x<－1时，g′(x)<g′(0)＝0，即g(x)在上单调递减，g(x)<g(0)＝0，不满足题意； ②若a≥，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)>h′(0)＝2a－1≥0，所以h(x)即g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g′(x)>g′(0)＝0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝0，满足题意． 综上所述，a的取值范围为. [提分技巧] 讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根； (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性． [提醒]　研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． [对点训练] 1．已知函数f(x)＝x2－aln x. (1)若函数f(x)在点(3，f(3))处切线的斜率为4，求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若函数g(x)＝ln x－f(x)－2x在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝2x－，而f′(3)＝4，即2×3－＝4，解得a＝6. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． ①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． ②当a＞0时， f′(x)＝2x－＝＝， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下： x f′(x) — 0 ＋ f(x)  极小值  由表可知，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是. (3)g(x)＝ln x－ax2－2x，于是g′(x)＝－ax－2＝－. 因为函数g(x)在[1,4]上是减函数， 所以g′(x)≤0在[1,4]上恒成立， 即≥0在[1,4]上恒成立． 又因为函数g(x)的定义域为(0，＋∞)， 所以有ax2＋2x－1≥0在[1,4]上恒成立． 于是有a≥－，设t＝，则≤t≤1， 所以有a≥t2－2t＝(t－1)2－1，≤t≤1， 当t＝时，(t－1)2－1有最大值－， 于是要使g′(x)≤0在[1,4]上恒成立，只需a≥－， 即实数a的取值范围是. 　利用导数研究函数的极值、最值 [例2]　已知函数f(x)＝x(x－m)2，m∈R. (1)当m＝2时，求f(x)在上的值域； (2)若f(x)的极大值为4，求实数m的值． [解]　(1)当m＝2时，f(x)＝x(x－2)2＝x3－4x2＋4x，f′(x)＝3x2－8x＋4. 令f′(x)>0，得x<或x>2， ∴f(x)在单调递增，在单调递减，在单调递增． 又f＝，f(2)＝0，f(－1)＝－9<f(2)＝0，f＝<，∴f(x)的值域为. (2)f′(x)＝3x2－4mx＋m2＝(3x－m)(x－m)，令f′(x)＝0，解得x＝m或x＝. 当m＝0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，无极值，舍去； 当m<0时，f′(x)>0⇒x<m或x>，f(x)在(－∞，m)和单调递增，在单调递减， 所以f(x)在x＝m时取得极大值，又f