第6板块 大题专攻(四) “函数与导数”压轴大题的思维建模（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

　大题专攻(四)　“函数与导数”压轴大题的思维建模 一宏观掌握解题通路：函数与导数问题重在“分”——分离、分解 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论，不等式的证明等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，最后根据题意处理． [解题示范] [典例]　(2021·全国甲卷)已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0)． (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间． (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． [应用体验] 　已知a∈R，函数f(x)＝ln x－ax＋x2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)求证：存在a>0，使得直线y＝与函数g(x)＝f(x)＋a－x2的图象相切． 解：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝－a＋x＝. 当a≤2时，f′(x)＝≥0恒成立，f(x)在(0，＋∞)单调递增． 当a>2时，令f′(x)＝＝0， 则 Δ＝a2－4>0显然成立， 解得x1＝，x2＝. 当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0. 综上，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)单调递增； 当a＞2时，f(x)在(0，x1)和(x2，＋∞)单调递增， 在(x1，x2)单调递减， 其中x1＝，x2＝. (2)证明：g(x)＝ln x－ax＋a，则g′(x)＝－a，设切点坐标为(x0，y0)． 由直线y＝与函数g(x)的图象相切，则－a＝，解得x0＝. 显然直线y＝过原点，则＝， 所以ln＋a＝×. 整理得a＝ln(ae＋1)，即ea＝ae＋1，得ea－1－a－＝0. 设G(x)＝ex－1－x－，G′(x)＝ex－1－1. 当0<x<1时，G′(x)<0，G(x)单调递减，当x>1时，G′(x)>0，G(x)单调递增． 又G(1)＝－<0，G(2)＝e－2－>0， 所以存在a∈(1,2)，使得G(a)＝0. 故存在a>0，使得直线y＝与函数g(x)＝f(x)＋a－x2的图象相切． 二微观优化解题细节：有关x与ex，ln x的组合函数的解题技法 有关x与ex，ln x的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等．熟悉与x，ex，ln x有关的函数图象特征，在解答相关问题时做到“有形可寻”，对解题大有帮助. 有关x与ex组合的常见函数的大致图象 有关x与ln x组合的常见函数的大致图象 有关x与ex，ln x组合的函数的大致图象 技法一　对数独行侠，指数找朋友 设f(x)为可导函数，则有[ex－f(x)]′＝ex－f′(x)．若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ex，针对此类型，可以采用作商的方法，构造′＝，从而达到简化证明和求最值的目的，ex总在找属于它的朋友，这个方法就叫做指数找朋友． 设f(x)为可导函数，则有[f(x)·ln x]′＝f′(x)·ln x＋f(x)·.若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ln x，这类问题需要多次求导，显得烦琐复杂．处理这类函数的技巧是将ln x单独分离出来，就留下ln x，然后研究剩余部分． [例1]　已知函数f(x)＝ex－ax2，若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1. [解题观摩]　法一：对数独行侠 当a＝1时，f(x)＝ex－x2，令ex＝t(t≥1)， 则原不等式等价于ln t≤(t≥1)． 构造函数g(t)＝ln t－， 则g′(t)＝－＝ ＝≤0， 所以g(t)在[1，＋∞)上单调递减， 所以g(t)≤g(1)＝0，即ln t≤ ， 所以原不等式得证. 法二：指数找朋友 当a＝1时，f(x)＝ex－x2， 由不等式f(x)≥1，得x2＋1≤ex. 构造函数g(x)＝， 则g′(x)＝＝≤0， 所以g(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(0)＝1， 又因为ex>0，所以x2＋1≤ex， 故原不等式得证． [反思领悟] 由指数函数和对数函数的导数及运算法则，不难知道： (1)[f(x)e－x]′＝0⇔[f′(x)－f(x)]e－x＝0⇔f′(x)－f(x)＝0； (2)[f(x)ex]′＝0⇔[f′(x)＋f(x)]ex＝0⇔f′(x)＋f(x)＝0； (3)[ln x－f(x)]′＝0⇔－f′(x)＝0. 技法二　分离ln x与ex [例2]　已知函数f(x)＝ax2－xln x. (1)若f(x)在(0，＋∞)上单调递