第6板块 大题专攻(二) 利用导数研究不等式问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　利用导数研究不等式问题 　不等式的证明 [例1]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a＞0时，f(x)＞2ln a＋. [解]　(1)f′(x)＝aex－1.当a≤0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)>0，得x＞－ln a，令f′(x)＜0，得x＜－ln a， 所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． (2)证明：法一　最值法：由(1)得当a＞0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a. 令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－＝a2－ln a－，a∈(0，＋∞)， 所以g′(a)＝2a－，令g′(a)＞0，得a＞； 令g′(a)＜0，得0＜a＜. 所以函数g(a)在上单调递减，在上单调递增， 所以函数g(a)的最小值为g＝2－ln －＝ln ＞0， 所以当a＞0时，f(x)＞2ln a＋成立． 法二　分析法：当a＞0时，由(1)得f(x)min＝f(－ln a)＝1＋a2＋ln a， 故欲证f(x)＞2ln a＋成立， 只需证1＋a2＋ln a＞2ln a＋， 即证a2－＞ln a. 构造函数u(a)＝ln a－(a－1)(a＞0)， 则u′(a)＝－1＝，所以当a＞1时，u′(a)＜0，当0＜a＜1时，u′(a)＞0. 所以函数u(a)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以u(a)≤u(1)＝0，即ln a≤a－1. 故只需证a2－＞a－1，即证a2－a＋＞0， 因为a2－a＋＝2＋＞0恒成立， 所以当a＞0时，f(x)＞2ln a＋成立． [提分技巧] 构造函数法证明不等式 (1)移项，使等式右边为零，左边构造为新函数． (2)求导判断单调性，通常要对参数分类讨论． (3)根据单调性，求出最值与“0”比较即可得证． [对点训练] 1．已知函数f(x)＝ax＋xln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值． (1)求实数a的值； (2)当x>1时，求证：f(x)>3(x－1)． 解：(1)因为f(x)＝ax＋xln x， 所以f′(x)＝a＋ln x＋1， 因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值， 所以f′(e－2)＝0，即a＋ln e－2＋1＝0，所以a＝1， 所以f′(x)＝ln x＋2. 当f′(x)>0时，x>e－2；当f′(x)<0时，0<x<e－2， 所以f(x)在(0，e－2)上单调递减， 在(e－2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x＝e－2处取得极小值， 符合题意，所以a＝1. (2)证明：由(1)知a＝1，所以f(x)＝x＋xln x. 令g(x)＝f(x)－3(x－1)， 即g(x)＝xln x－2x＋3(x>0)． g′(x)＝ln x－1，由g′(x)＝0，得x＝e. 由g′(x)>0，得x>e；由g′(x)<0，得0<x<e. 所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， 所以g(x)在(1，＋∞)上的最小值为g(e)＝3－e>0. 于是在(1，＋∞)上，都有g(x)≥g(e)>0， 所以f(x)>3(x－1)． 2．已知f(x)＝ex＋1－，g(x)＝，a∈R. (1)当x∈(1，＋∞)时，求函数g(x)的极值； (2)当a＝0时，求证：f(x)≥g(x)． 解：(1)g′(x)＝，当a≥1且x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 故函数g(x)不存在极值． 当a<1时，令g′(x)＝0，得x＝e1－a， 当x变化时，g′(x)与g(x)的变化如表所示. x (1，e1－a) e1－a (e1－a，＋∞) g′(x) ＋ 0 － g(x) 单调递增 极大值 单调递减 故g(x)极大值＝g(e1－a)＝＝＝ea－1＋1，无极小值． 综上，当a≥1时，函数g(x)不存在极值； 当a<1时，函数g(x)有极大值，g(x)极大值＝ea－1＋1，不存在极小值． (2)证明：显然x>0，要证f(x)≥g(x)， 即证ex＋1≥，即证xex＋1≥ln x＋x＋2， 即证eln x＋x＋1≥(ln x＋x＋1)＋1. 令t＝ln x＋x＋1，故只需证et≥t＋1. 设h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1， 当x>0时，h′(x)>0，当x<0时，h′(x)<0， 故h(x