第5板块 小题考法(二) 圆锥曲线的方程与性质（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(二)　圆锥曲线的方程与性质 　圆锥曲线的定义及标准方程 [讲评提能] [例1]　(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝，则|OP|＝(　 ) A. B. C. D. [解析]　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝　①，由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6　②.由①②，解得mn＝.设|OP|＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得＝－，得x2＝＝＝，所以|OP|＝. [答案]　B [例2]　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为4，离心率e＝2，点Q为双曲线右支上的一点，点P(0,4)．当|QF1|＋|PQ|取最小值时，|QF2|的值为(　 ) A．6(＋1) B．6(－1) C．6－1 D．6＋1 [解题微“点”] 切入点 由题意求得a，b，c，即可得双曲线的方程 迁移点 由双曲线的定义确定当|QF1|＋|PQ|取最小值时Q点的位置，利用方程组求得Q点坐标 关键点 利用定义求双曲线中和的最值 [解析]　由题意可得2a＝4，a＝2，又e＝2，故c＝4，所以b2＝c2－a2＝12，则双曲线方程为－＝1， 结合双曲线定义可得|QF1|＋|PQ|＝|QF2|＋4＋|PQ|＝|QF2|＋|PQ|＋4， 如图所示，连接PF2，交双曲线右支于点M，即当P，Q，F2三点共线，即点Q在点M位置时，|QF1|＋|PQ|取最小值，此时直线PF2方程为y＝－x＋4，联立－＝1，解得点Q的坐标为(3－2,6－3)(Q为双曲线右支上的一点)，故|QF2|＝ ＝6(－1)． [答案]　B [提分技巧] 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)． [提醒]　应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．求解圆锥曲线标准方程的思路方法 (1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)． [过关训练] 1．已知△ABC的顶点都在抛物线y2＝4x上，且△ABC的重心为抛物线的焦点F，则|AF|＋|BF|＋|CF|＝(　 ) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：选B　由题意得p＝2，F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．∵点F是△ABC的重心，∴F.∴x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＋|CF|＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝x1＋x2＋x3＋＝6. 2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 解析：选B　依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1.故选B. 3．已知双曲线C：－y2＝1，点F是C的左焦点，若点P为C右支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则d＋|PF|的最小值为(　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选B　过P作PH垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H，则|PH|＝d，连接P与双曲线的另一个焦点F1，如图所示， 由双曲线的定义知，d＋|PF|＝|PH|＋|PF1|＋2a. 又双曲线方程为－y2＝1，故a＝3，b＝1，c＝. 又点F1的坐标为(，0)，双曲线的渐近线为y＝x，故点F1到渐近线的距离为＝1，故|PH|＋|PF1|＋2a≥1＋6＝7. 　圆锥曲线的几何性质 [讲评提能] 角度1　双曲线的渐近线 [例3]　已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F作x轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A和点B.若|AB|＝|AF|，则双曲线C的渐近线方程为(　 ) A.x±y＝0 B．x±y＝0 C.x±y＝0 D