第5板块 大题专攻(四) 化解解析几何计算繁琐的五大技法（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(四)　化解解析几何计算繁琐的五大技法 中学解析几何是将几何图形置于平面直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，其中计算能力是一个重要的方面．因此，本讲从以下5个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程，达到快准解题． 技法一　回归定义，以逸待劳 回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果． [例1]　如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　 ) A. B. C. D. [解题观摩]　由已知，得F1(－，0)，F2(，0)， 设双曲线C2的实半轴长为a， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得 解得a2＝2，故a＝. 所以双曲线C2的离心率e＝＝. [名师微点] 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量． 技法二　设而不求，金蝉脱壳 设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求． [例2]　已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为(　 ) A. B. C. D. [解题观摩]　由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设P(m，n)，过点P的抛物线的切线为 y＝k(x－m)＋n， 联立得x2－8kx＋8km－8n＝0， 因为Δ＝64k2－32km＋32n＝0， 即2k2－km＋n＝0， 所以k1＋k2＝，k1k2＝. 又由x2＝8y得y′＝， 所以x1＝4k1，y1＝＝2k，x2＝4k2，y2＝＝2k. 所以kAB＝＝＝＝. 因为点P(m，n)满足2＋2＝1， 所以1≤m≤3.因此≤≤， 即直线AB斜率的最大值为.故选B. [名师微点] (1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地利用根与系数的关系用PA，PB的斜率把A，B的坐标表示出来，从而快速解决问题． (2)在运用圆锥曲线问题中设而不求的方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多． 技法三　巧设参数，变换主元 换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍． 常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件． [例3]　设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞. [解题观摩]　法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)． 联立消去y0并整理， 得x＝.① 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0， 得(x0＋a)2＋k2x＝a2， 整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0. 而x0≠0，于是x0＝， 代入①，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4. 又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4， 即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|＞. 法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx， 可设点P的坐标为(x0，kx0)． 由点P在椭圆上，得＋＝1. 因为a＞b＞0，kx0≠0，所以＋＜1， 即(1＋k2)x＜a2.② 由|AP|＝|OA|及A(－a,0)， 得(x0＋a)2＋k2x＝a2， 整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，于是x0＝， 代入②，得(1＋k2)·＜a2， 解得k2＞3，所以|k|＞. 法三：设P(acos θ，bsin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP的中点Q的坐标为. |AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔kAQ×k＝－1. 又A(－a,0)，所以kAQ＝， 即bsin