第5板块 大题专攻(二) 圆锥曲线中的定点、定值问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　圆锥曲线中的定点、定值问题 　定点问题 [例1]　(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2,0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． [解]　(1)因为点A(－2,0)在C上，所以＝1，得b2＝4.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2.又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，b2＝4， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－1 728k>0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. 直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝， 则＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝3. 所以MN的中点为定点(0,3)． [提分技巧]　直线过定点问题的解题模型 [对点训练] 1．已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点P(－2，4)，|PF|＝5，过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点C. (1)求抛物线E的标准方程； (2)求证：直线BC过定点． 解：(1)焦点F，|FP|＝＝5. ∵p>0，∴p＝2. 故抛物线E的标准方程为y2＝4x. (2)证明：显然直线AB斜率存在，设AB的方程为y－4＝k(x＋2)， 由化简得ky2－4y＋16＋8k＝0，k≠0，Δ＝16(－2k2－4k＋1)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝＋8， ∴y1y2－8＝4(y1＋y2)．　① 直线AC的方程为y－y1＝， 由化简得y2－8y＋8y1－y＝0，Δ＝64－4(8y1－y)>0. 设C(x3，y3)则y1＋y3＝8.　② 由①②得(8－y3)y2－8＝4(8－y3＋y2)， ∴4(y2＋y3)＝y2y3＋40.　③ 若直线BC的斜率不存在，则y2＋y3＝0. 又4(y2＋y3)＝y2y3＋40，∴y＝40. ∴x3＝＝10. ∴直线BC的方程为x＝10. 若直线BC的斜率存在，则其斜率为＝. 直线BC的方程为 y－y2＝， 即4x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0. 将③代入得4x－(y2＋y3)y＋4(y2＋y3)－40＝0， ∴(y2＋y3)(4－y)＋4(x－10)＝0， 故直线BC的斜率存在时过点(10,4)． 综上，直线BC过定点(10,4)． 　定值问题 [例2]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为，M为椭圆C上一动点，△FAM面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M的直线l：y＝kx＋1与椭圆C的另一个交点为N，P为线段MN的中点，射线OP与椭圆交于点D.点Q为直线OP上一动点，且·＝2，求证：点Q到x轴距离为定值． [解题微“点”] 切入点 (1)由椭圆的几何性质求a，b，c； (2)联立方程，由根与系数的关系求解 关键点 把点M，N，P，Q，D的坐标用k表示出来，有一定的计算量 隐藏点 由于OP与椭圆有两个交点，在表示的时候用2表示，可以避免讨论点D在哪个位置 [解]　(1)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的几何性质知，当点M位于椭圆的短轴端点时，△FAM的面积取得最大值，此时S△FAM＝(a＋c)b， ∴(a＋c)b＝，∴(a＋c)b＝3. 由离心率＝得a＝2c，∴b＝c， 解得c＝1，a＝2，b＝， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2) 证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0. ∵点(0,1)在这个椭圆内部，所以Δ>0，x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴点P的坐标为， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝－＋2＝， 当k≠0时，直线OP的斜率为－，∴直线OP的方程为y＝－x，即x＝－y， 将直线OP的方程代入椭圆方程得y＝，x＝， 设点Q，由·＝2得 －·＋·y＝＋， 化简得·y＝，化简得y＝3， ∴点Q在直线y＝3上， 当直线l的斜率k＝0时，此时P(0,1)，D(0，)， 由·＝2得Q(0,3)，也满足条件， ∴点Q在直线y＝3上；∴点Q到x轴距离为定值． [提分技巧] (1)求定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． (2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的． [对点训练