第4板块 大题专攻(一) 统计及统计案例（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　统计及统计案例 　用样本估计总体 [例1]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1,2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的,橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高) [解]　(1)由题意，求出zi的值如表所示， 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12 则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)因为2＝2＝，＝11＝>，所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． [提分技巧] 利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．　　 [对点训练] 1．某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为s和s. A(单位：kg) 60 50 40 60 70 80 70 30 50 90 B(单位：kg) 40 60 50 80 80 50 60 20 80 70 (1)分别求这两个品种产量的极差和中位数； (2)求，，s，s； (3)若果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由． 解：(1)这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30,40,50,50,60,60,70,70,80,90， 极差为90－30＝60，中位数为＝60， 这10棵B品种桃树的产量从小到大分别为20,40,50,50,60,60,70,80,80,80， 极差为80－20＝60，中位数为＝60. (2)＝×(30＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋70＋80＋90)＝60，＝×(20＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋80＋80＋80)＝59， s＝×[(30－60)2＋(40－60)2＋(50－60)2＋(50－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(70－60)2＋(70－60)2＋(80－60)2＋(90－60)2]＝300， s＝×[(20－59)2＋(40－59)2＋(50－59)2＋(50－59)2＋(60－59)2＋(60－59)2＋(70－59)2＋(80－59)2＋(80－59)2＋(80－59)2]＝349. (3)由(1)可知这两个品种极差和中位数都相等， 由(2)可知>，s<s，则A品种桃树平均产量高，波动小，所以应该选种A品种桃树． 2．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图，如图所示． (1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题： ①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%? ②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？请说明理由． 解：(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的